Šuplík "neurčitý podíl"

Situace je následující: Potřebujeme najít limitu (pokud nějaká je) podílu an /bn. Po individuálním vyhodnocení čitatele a jmenovatele jsme zjistili, že čelíme neurčitému podílu, tedy typu či . Co se dá dělat? Je několik alternativ.

1. L'Hospitalovo pravidlo

Toto je standardní postup.
Krok 1. Z limity posloupnosti přejdeme na limitu funkcí (viz Posloupnosti a funkce v části Teorie - Limita). To se dá udělat, pokud je an dáno nějakou funkcí f (n) a bn je dáno nějakou funkcí g(n).

Krok 2. Zkontrolujeme, že podíl f /g je stále v nekonečnu neurčitého typu.

Krok 3. Aplikujeme l'Hospitalovo pravidlo:

neboli derivujeme čitatel a jmenovatel zlomku, pak se snažíme najít limitu výsledného zlomku; pokud tato limita existuje, je to také odpověď na původní příklad s posloupností.
Pokud limita napravo neexistuje, pak o původním příkladu s posloupnostmi nemůžeme nic tvrdit.

Příklad:

Všimněte si, že jsme museli použít l'Hospitalovo pravidlo dvakrát. To se stává často, někdy jej dokonce musíme použít vícekrát. Tento příklad byl typický: Můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo, abychom se "zbavili mocnin", každá derivace odstraní jednu mocninu. Kdybychom hledali limitu řekněme výrazu en/n13, museli bychom toto pravidlo použít 13 krát, pokaždé by se mocnina snížila, dokud by zcela nezmizela. Podobně lze použít l'Hospitalovo pravidlo ke zbavení se mocnin logaritmů, jeden l'Hospital zmizí jednu mocninu. Toto jsou také ty nejtypičtější aplikace.

Poznámky:
1. Když aplikujeme l'Hospitalovo pravidlo, derivujeme zvlášť čitatel a jmenovatel. Neaplikumeme na celý zlomek pravidlo o derivaci podílu, k čemuž jsou studenti občas sváděni. L'Hospital nemá nic společného s derivováním, je to speciální nástroj pro hledání limit, který shodou okolností používá derivaci svým vlastním způsobem. Samozřejmě, pokud by byly výrazy v čitateli a jmenovateli komplikovanější, použili bychom při jejich derivování příslušná pravidla.

2. Je naprosto nutné ověřit, že čelíme neurčitému podílu. L'Hospitalovo pravidlo nelze aplikovat na jiné typy zlomků s jednou výjimkou. Můžeme jej použít, pokud |g| jde do nekonečna pro x jdoucí k nekonečnu, bez ohledu na to, co dělá f. Jinými slovy, v plné obecnosti toto pravidlo platí na dva typy: "nula dělená nulou" a "něco dělené nekonečnem". Pro ostatní typy toto pravidlo nefunguje, viz L'Hospitalovo pravidlo v části Teorie - Limita.

3. Ačkoliv l'Hospitalovo pravidlo funguje v mnoha případech a vypadá docela spolehlivě, není to univerzální řešení pro neurčitý podíl. Někdy jej nelze vůbec aplikovat, například pokud funkce f či g nejdou derivovat; může se dokonce stát, že vzorec definující an či bn ani nelze rozšířit, aby definovaly funkci! Typické příklady jsou mocniny se zápornými bázemi jako (−1)n, (−2)n atd. Nelze z nich udělat funkce takto: (−1)x, protože exponenciály jsou pouze definovány pro kladné báze (číslo (−1)x dokonce ani neexistuje, když je x zlomek se sudým čitatelem a lichým jmenovatelem).

Někdy se l'Hospitalovo pravidlo dá použít, ale nepomůže, přesněji řečeno obdržíme limitu, která neexistuje nebo ji nelze spočítat, také se mohou stát jiné průšvihy.

A nakonec jsou také problémy, které l'Hospital sice vyřeší, ale udělali bychom lépe, pokud bychom je řešili jinak; nejtypičtější případ je podíl s mocninami, exponenciálami a odmocninami, protože exponenciálami se derivováním nezmění a derivace odmocniny zase dává odmocninu, často ještě mnohem komplikovanější.

Příklad: Budeme aplikovat l'Hospitalovo pravidlo na následující příklad. Všimněte si, že začneme přepsáním příkladu tak, abychom dostali kladné exponenty; v této podobě se nám bude typ lépe odhadovat. Pro výpočty l'Hospitala pak použijeme původní formu, protože se snadněji derivuje.

Po dvou l'Hospitalech skončíme přesně tam, kde jsme začali, takže l'Hospitalovo pravidlo nepomohlo. Je to poněkud zvláštní příklad, protože se to nestává často; přesto to ukazuje, že l'Hospitalovo pravidlo může selhat i u pěkných příkladů.

Zkušený student by vlastně na tento příklad vůbec l'Hospitalovo pravidlo nepoužíval. Na první pohled je to podíl součtu mocnin, takže by relativně bezbolestné řešení mělo být k nalezení v šuplíku "polynomy a podíly s mocninami", viz níže.

Shrnuto, l'Hospital nemusí být tou nejlepší volbou, když daný výraz zahrnuje exponenciály a také odmocniny.

V části Řešené příklady - Limita je l'Hospitalovo pravidlo použito v tomto příkladě (což je klasický učebnicový příklad), je také částí většiny ostatních řešení, hlavně v tomto příkladě, tomto příkladě, tomto příkladě, a tomto příkladě. Pro pěkný příklad, na který lze l'Hospitalovo pravidlo použít, ale nevede to k žádnému závěru, podívejte se na tento příklad.

2. Polynomy a podobné členy

Pokud limita také padne do šuplíku "polynomy a podíly s mocninami", pak je většinou lepší použít nástroje z onoho šuplíku. Jako příklad se vrátíme k tomu s exponenciálami výše. Podíváme se po dominantních členech v čitateli a jmenovateli, jsou stejné, jmenovitě en. Můžeme to tedy vytknout z obou částí, zde je dokonce snžší jednoduše zkrátit ve zlomku:

To bylo snadné, že? Popravdě řečeno, dalo se to uhádnout hned na začátku pomocí intuitivního výpočtu. Protože členy en jdou k nule, problém je ve skutečnosti způsoben exponenciálami en. Ty jsou dominantními členy jak v čitateli, tak ve jmenovateli, takže se zlomek chová jako en/en = 1.

Tento příklad byl typický. Zatímco l'Hospitalovo pravidlo se dokáže vypořádat s mnoha či dokonce většinou zlomků náležících do šuplíku "polynomy a podíly s mocninami", je často jednodušší použít metody z tohoto šuplíku.

3. Rozdíl odmocnin

Jak už jsme zmínili, odmocniny jsou občas nepříjemné, když dojde na l'Hospitalovo pravidlo. Pokud jsou ty odmocniny nějak zamíchané v rozdílu, možná by se daly odstranit pomocí vhodného triku ze šuplíku "rozdíl odmocnin".

Téměř všechny příklady v části Řešené příklady zahrnují neurčitý podíl, tak se na ně podívejte.

Samozřejmě jsou také neurčité podíly, které nelze vyřešit oněmi třemi přístupy a je třeba s nimi zatočit individuálně.


Další šuplík: neurčitý součin
Zpět na Přehled metod - Limita