Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje)

Řešení: Nejprve zkusíme dosadit, abychom určili typ (a při troše štěstí získali odpověď). Dostaneme

Abychom zjistili, jak se celá daná posloupnost chová, musíme se nejprve vypořádat se zlomkem, tento je ale snadný. Protože je to podíl polynomů, můžeme použít triky z intuitivních výpočtů v části Teorie - Limita k odhadnutí odpovědi:

Tuto odpověď můžeme potvrdit vytknutím, ale není kam spěchat. Proč? Až potvrdíme, že zlomek jde do nekonečna, dostaneme informaci pouze o druhé části dané posloupnosti. První část jde k nule, takže dohromady dostaneme 0⋅∞. To je neurčitý typ, na kterém musíme pracovat a výpočty, které bychom udělali jen pro druhou část, by byly stejně zbytečné. Existuje šuplík pro neurčitý součin, kde se říká, že bychom měli změnit součin na zlomek a pak se na něj podívat. Kterou část "dáme dolů"? Exponenciála vypadá jako lepší kandidát, protože tam jen změníme znaménko v exponentu (podívejte se sem, co se stane, když to zkusíme tím druhým způsobem):

Typ jsme určili tak snadno díky tomu, že jsme už ten podíl polynomů zkoumali předtím. Teď máme neurčitý podíl, který vypadá standardně, takže bez dalšího prodlení přejdeme na funkce a aplikujeme l'Hospitalovo pravidlo.

Teď máme další problém. Jaký je typ horního zlomku (čitatele hlavního podílu)? Není vlastně nutné se starat, protože l'Hospital jde použít také na typ "něco dělené nekonečnem", což je náš případ, ale derivovat ten horní zlomek nevypadá lákavě. Podíváme se tedy na něj blíže, doufaje, že nám odpověď umožní se vyhnout dalšímu l'Hospitalu. Je to podíl polynomů, takže zkusíme triky z příslušného šuplíku. Nejprve určíme dominantní mocniny, v tom by mělo pomoci roznásobení jmenovatele. Pak bychom měli vytknout dominantní členy, ale ukáže se, že jsou oba n². Když jsou vedoucí mocniny ve zlomku stejné, většinou se vyplatí je prostě vykrátit:

Teď tedy víme, že zlomek nahoře jde k 1, takže můžeme dokončit příklad:

Dá se tento výpočet nějak zjednodušit? Tak tomu l'Hospitalovu pravidlu se vyhnout nejde, ale dá se to trochu ulehčit. Jak? Víme, že derivace podílu je docela hnusná, ale součinové pravidlo dává hezčí výsledky. ZKusíme tedy danou posloupnost trochu upravit, než začneme l'Hospitalit:

Tentokráte jsme museli l'Hospitala použít dvakrát, ale zase to bylo možná trochu jednodušší algebraicky. Je na vás, čemu dáváte přednost.

Můžeme také zkusit něco úplně jiného. Když jsme to napsali jako jeden zlomek, byly tam pouze mocniny a exponenciála, takže můžeme zkusit použít triky z šuplíku polynomy a podíly s mocninami. Mohly by být problémy se součinem ve jmenovateli, ale ono se to nakonec vystříbří, když zkusíme intuitivně odhadnout výsledek:

Použili jsme toho, že se dalo ignorovat "+1" ve srovnání s mocninami a že "exponenciály přebijí mocniny".

Jak potvrdíme tento dohad? Jako obvykle, vytknutím dominantních mocnin a exponenciály, pak aplikujeme l'Hospitalovo pravidlo.

To bylo asi nejsnažší řešení.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita