Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje)
Řešení:
Nejprve zkusíme dosadit nekonečno. Všimněte si, že za n dosazujeme
kladná čísla, takže
Připomeňme, že 1/0 je výraz, jehož výsledek není možné určit a je třeba jej
prozkoumat blíže, proto jsme potřebovali tu poznámku o tom, že ta nula je
vlastně 0+. Fakt
Ale limitu jsme stejně nedostali, nicméně tento pokus nám řekl, že daný problém patří do šuplíku neurčitý rozdíl. Standardní řešení volá po změně rozdílu nějakým způsobem ve zlomek. Zkusíme vytvořit společný jmenovatel.
Rádi bychom se odvolali na
pana l'Hospitala, bohužel
ale neplatí na typ "něco dělené nulou".
Potřebujeme zjistit, co je v čitateli; tedy nejprve potřebujeme zjistit
limitu součinu
Jak najdeme limitu
Všimněte si, jak někdy píšeme
Jaký je tento výraz? Dosazení nekonečna dá
Zase máme problém. Nejprve bychom měli prozkoumat součin x2 se sinem a přesně jako předtím (změnou ve zlomek, aplikací l'Hospitala) zjistíme, že jde do nekonečna. Chytřejší řešení by takto využilo předchozího výpočtu:
Každopádně jsme pro zjistili, že celý výraz je zlomek typu "nekonečno mínus nekonečno, to celé děleno 1". Dělení jedničkou není problém, je tedy asi nejlepší to prostě vytáhnout z výrazu ven a spočítat zvlášť.
Zůstala nám ta část "nekonečno mínus nekonečno". Měli bychom to změnit ve zlomek a aplikovat l'Hospitala, doufaje, že tentokráte dostaneme něco rozumného. Bohužel tu teď nemáme zřejmý společný jmenovatel. Co budeme dělat?
Jedna možnost je použít univerzální trik pro změnu rozdílu na zlomek. Vede to k hrůzným věcem, jak se můžete přesvědčit zde.
Chytrý student by si všiml, že když se vytkne z výrazu jedno x,
objevil by se výraz
Dostali jsme tedy neurčitý součin, dokonce máme zjevného kandidáta pro přesun "dolů". Jdeme na to:
Překvapivě jsme dostali stejnou limitu, jen s opačným znaménkem. Co to znamená?
Hlavně to znamená, že tato metoda nepomohla, opakování l'Hospitala by zase jen změnilo znaménko. Měli jsme tedy v průbehu našich výpočtů šanci zkusit něco jiného? Nic nevidíme, takže tento "přímý" výpocet nic dalšího nedá.
To, že jsme po aplikaci l'Hospitalova pravidla dostali stejnou limitu, jen s
opačným znaménkem, je divné. Mohli bychom toho použít k získání alespoň
nějaké informace? Ano. Jestliže tato limita neexistuje, pak už evidentně
nemůžeme nic víc dodat. Pokud by ale náhodou existovala a rovnala se řekněme
L? Rovnost, kterou jsme dostali, by pak znamenala, že
Daná limita buď neexistuje, nebo musí být nula.
Pokud chceme příklad vyřešit, musíme na to jít od začátku jinak. Což třeba tohle: Neurčité rozdíly se často dají vyřešit převedením na součin, většinou neurčitý. Zde by se to dělalo takto:
Neurčitý součin se standardně převádí na podíl, což obvykle vede na l'Hospitalovo pravidlo. Zkusíme to.
Tohle vypadá dost špatně a je to asi další slepá ulička. Co tedy dělat?
Klíčem k úspěchu je pozorování, že u obou metod v zásadě zlobí ty x,
které se míchají s
U druhého přístupu pak takto:
Obojí je děsné, ale výsledek to dá. Nicméně když už máme všude jen
Tohle je asi to nejlepší řešení.