Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje)

Řešení: Nejprve zkusíme dosadit nekonečno. Všimněte si, že za n dosazujeme kladná čísla, takže 1/n > 0; proto 1/n konverguje k 0+ v algebře limit.

Připomeňme, že 1/0 je výraz, jehož výsledek není možné určit a je třeba jej prozkoumat blíže, proto jsme potřebovali tu poznámku o tom, že ta nula je vlastně 0+. Fakt sin(0+) = 0+ si buď pamatujeme, nebo uvažujeme následovně: Za prvé, víme, že sin(1/n)→0. Za druhé, když je n velké přirozené číslo, tak je 1/n velmi malé kladné číslo, a proto sin(1/n) > 0. Tato dvě fakta říkají, že sin(1/n)→0+, přesně jak jsme tvrdili.

Ale limitu jsme stejně nedostali, nicméně tento pokus nám řekl, že daný problém patří do šuplíku neurčitý rozdíl. Standardní řešení volá po změně rozdílu nějakým způsobem ve zlomek. Zkusíme vytvořit společný jmenovatel.

Rádi bychom se odvolali na pana l'Hospitala, bohužel ale neplatí na typ "něco dělené nulou". Potřebujeme zjistit, co je v čitateli; tedy nejprve potřebujeme zjistit limitu součinu n⋅sin(1/n). Jaké jsou možnosti? Pokud vyjde 1, pak je celý zlomek typu "0 dělená 0" a pak víme, co dělat. Pokud vyjde jiné číslo než 1, řekněme a (včetně plus či mínus nekonečna), bude celý zlomek typu (a − 1)/0+, což je +∞ (pokud a > 1) nebo −∞ (pokud a < 1), takže rovnou dostaneme odpověď. No a je také možné, že součin n⋅sin(1/n) nemá limitu, my bychom pak čelili netypickému problému a museli bychom vyšetřovat celý zlomek nějakým specifickým způsobem.

Jak najdeme limitu n⋅sin(1/n)? Viděli jsme, že dává ∞⋅0, takže vhodnou metodu najdeme v šuplíku "neurčitý součin". Příslušná procedura vyžaduje změnit součin ve zlomek a pak aplikovat l'Hospitalovo pravidlo, protože se určitě dostane neurčitý podíl. Která část součinu by se měla "dát dolů"? Protože ten sinus už je dost komplikovaný, nebylo by moudré ho ještě více zkomplikovat přidáním mocniny −1 (zde uvidíte, co se stane, když to zkusíte). Dáme tedy dolů mocninu a rovnou přejdeme na funkce, protže to pro l'Hospitala stejně potřebujeme.

Všimněte si, jak někdy píšeme 1/x (když dosazujeme nekonečno, je to takto intuitivnější) a někdy x−1 (když derivujeme, je toto lepší). Každopádně teď víme, že součin jde k 1, a můžeme se vrátit k původnímu příkladu. Teď už také víme, že ten je typu "0 dělená 0", takže použijeme metodu doporučenou v šuplíku neurčitý podíl: přejdeme k funkcím a aplikujeme l'Hospitalovo pravidlo:

Jaký je tento výraz? Dosazení nekonečna dá

Zase máme problém. Nejprve bychom měli prozkoumat součin x2 se sinem a přesně jako předtím (změnou ve zlomek, aplikací l'Hospitala) zjistíme, že jde do nekonečna. Chytřejší řešení by takto využilo předchozího výpočtu:

x2sin(1/x) = xxsin(1/x)→∞⋅1 = ∞.

Každopádně jsme pro zjistili, že celý výraz je zlomek typu "nekonečno mínus nekonečno, to celé děleno 1". Dělení jedničkou není problém, je tedy asi nejlepší to prostě vytáhnout z výrazu ven a spočítat zvlášť.

Zůstala nám ta část "nekonečno mínus nekonečno". Měli bychom to změnit ve zlomek a aplikovat l'Hospitala, doufaje, že tentokráte dostaneme něco rozumného. Bohužel tu teď nemáme zřejmý společný jmenovatel. Co budeme dělat?

Jedna možnost je použít univerzální trik pro změnu rozdílu na zlomek. Vede to k hrůzným věcem, jak se můžete přesvědčit zde.

Chytrý student by si všiml, že když se vytkne z výrazu jedno x, objevil by se výraz xsin(1/x), o kterém už víme, že jde k 1. Pomohlo by to?

Dostali jsme tedy neurčitý součin, dokonce máme zjevného kandidáta pro přesun "dolů". Jdeme na to:

Překvapivě jsme dostali stejnou limitu, jen s opačným znaménkem. Co to znamená?

Hlavně to znamená, že tato metoda nepomohla, opakování l'Hospitala by zase jen změnilo znaménko. Měli jsme tedy v průbehu našich výpočtů šanci zkusit něco jiného? Nic nevidíme, takže tento "přímý" výpocet nic dalšího nedá.

To, že jsme po aplikaci l'Hospitalova pravidla dostali stejnou limitu, jen s opačným znaménkem, je divné. Mohli bychom toho použít k získání alespoň nějaké informace? Ano. Jestliže tato limita neexistuje, pak už evidentně nemůžeme nic víc dodat. Pokud by ale náhodou existovala a rovnala se řekněme L? Rovnost, kterou jsme dostali, by pak znamenala, že L = −L neboli L = 0. Všimněte si, že L nemůže být nekonečno či mínus nekonečno, protože ta nesplňují L = −L. Máme tedy zatím následující závěr:

Daná limita buď neexistuje, nebo musí být nula.

 

Pokud chceme příklad vyřešit, musíme na to jít od začátku jinak. Což třeba tohle: Neurčité rozdíly se často dají vyřešit převedením na součin, většinou neurčitý. Zde by se to dělalo takto:

Neurčitý součin se standardně převádí na podíl, což obvykle vede na l'Hospitalovo pravidlo. Zkusíme to.

Tohle vypadá dost špatně a je to asi další slepá ulička. Co tedy dělat? Klíčem k úspěchu je pozorování, že u obou metod v zásadě zlobí ty x, které se míchají s 1/x. V obou případech ale dokážeme zkoumané výrazy přeorganizovat tak, aby se tam vyskytovalo jen 1/x. L'Hospitalovo pravidlo pak vede na zjednodušení. U prvního přístupu to vypadá takto:

U druhého přístupu pak takto:

Obojí je děsné, ale výsledek to dá. Nicméně když už máme všude jen 1/x, zkušeného limitiče okamžitě napadne substituce.

Tohle je asi to nejlepší řešení.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita