Základní vlastnosti reálných funkcí

Zde uvedeme některé základní vlastnosti funkcí z teoretického pohledu. Začneme omezeností, pak přejdeme na průsečíky s osami, symetrii a periodicitu. Pro praktický přístup viz Omezenost, Symetrie a Periodicita v Přehledu metod.

Omezenost

Definice.
Řekneme, že reálná funkce f je omezená zdola, jestliže existuje číslo k takové, že pro všechnna x z definičního oboru Df ) platí f (x) ≥ k.
Řekneme, že reálná funkce f je omezená shora, jestliže existuje číslo K takové, že pro všechna x z definičního oboru Df ) platí f (x) ≤ K.
Řekneme, že reálná funkce f je omezená, jestliže je zároveň omezená shora i zdola.

Ekvivalentně, funkce f je omezená jestliže existuje číslo h takové, že pro všechna x z definičního oboru Df ) platí -h ≤ f (x) ≤ h, jinými slovy f (x)| ≤ h.

Omezenost shora znamená, že existuje vodorovná čára tak, že celý graf funkce leží pod ní. Omezenost zdola znamená, že graf leží nad nějakou vodorovnou čárou. Omezenost znamená, že je možné uzavřít celý graf mezi dvě vodorovné přímky. Nerovnosti v definici lze zkrátit takto: f ≥ k, f ≤ K a f | ≤ h (viz poznámka o značení na konci předchozí sekce).

Konstanty k a K se nazývají dolní a horní mez pro f. Jestliže existuje jedna mez, pak jich je nekonečně mnoho. Například jestliže f je nejvýše 1, pak také f ≤ 1.5, f ≤ 13, f ≤ 175.37 atd.

Na následujícím obrázku to vypadá, že funkce vlevo je omezená, zatímco ta napravo je asi omezená zdola, ale ne shora, tudíž ani není omezená. Naznačili jsme některé horní a dolní odhady, u pravého obrázku jsme se také několikrát pokusili o horní odhad, ale nevyšlo to, abychom naznačili, že žádná pokusná horní mez by nefungovala (za předpokladu, že ta funkce pokračuje dál v naznačeném trendu).

Začátečník může mít odpustitelný pocit, že pokud má funkce omezený definiční obor (například když je definována na konečném uzavřeném intervalu jako ⟨1,5⟩), pak by měla být omezená, protože nemůže mít ty rostoucí hrby jako ten příklad napravo. Není to ale pravda. Dokonce i takové funkce nemusí být omezené, pro příklady se odvoláme na sekci "Pilovité" funkce v části Teorie - Elementární funkce.

Jediný případ, kdy definiční obor určí omezenost, je poněkud extrémní: Jestliže je funkce definována jen na konečné množině, pak je automaticky omezená, protože má pouze konečně mnoho hodnot - každá konečná množina má maximum a minimum. I když takové funkce existují, jsou to příšerky držené v zoo matematických kuriozit za účelem polapení neopatrných studentů, v praxi se s nimi člověk nesetkává.

Pro podmnožinu M definičního oboru f můžeme definovat omezenost na množině. Definice jsou podobné, chceme mez (horní, dolní, obě) univerzální pro f (x) pro všechna x z M.

Omezenost na množině se používá často, vhod přichází toto jednoduché pozorování.

Fakt.
Nechť f je funkce omezená na nějaké množině M. Pak je f také omezená na všech podmnožinách M.

Co se dá říci o omezenosti a operacích? Jestliže sčítáme, odčítáme či násobíme dvě omezené funkce, pak výsledek je zase omezený. Pokud skládáme dvě funkce a ta vnější je omezená, pak je celá kompozice omezená.
Co nefunguje? Pokud skládáme dvě funkce a ta vnitřní je omezená, pak výsledná nemusí být omezená. Například funkce f (x) = x2 je omezená na (0,1), ale když ji dosadíme do funkce 1/x, dostaneme 1/x2, což rozhodně není omezené na (0,1).
Podobně když dělíme dvě omezené funkce, výsledek nemusí být omezený, pokud se ta ve jmenovateli přiblíží libovolně blízko k nule. Příklad: 1/x není omezená na (0,1), přesto je to podíl dvou funkcí, obou omezených na (0,1).

Když začneme uvažovat funkce neomezené, může nastat mnoho situací, příliš na to, abychom je tu probírali. Dá se říct něco určitého pro omezenost shora/zdola, v zásadě se to řídí selským rozumem. Například když sečteme nebo vynásobíme dvě funkce omezené zdola, dostaneme funkci omezenou zdola. Pokud odečteme funkci omezenou zdola od funkce omezené shora, dostaneme funkci omezenou shora (napište si příslušné nerovnosti, uvidíte to). Pokud nemáme ani omezenost částečnou, pak je možné cokoliv, například součet dvou takových funkcí může být omezený, omezený shora, omezený zdola nebo zcela neomezený.


Jedna z možností, jak se dívat na omezenost na množině, je položit si následující otázku: Jak vysoko či nízko jde f na dané množině M (podmnožině definičního oboru)?

Definice.
Nechť M je neprázdná podmnožina definičního oboru funkce f.
Jestliže je f omezená shora na M, definujeme supremum f na M, značené supMf ), jako nejmenší horní mez f na M.
Jestliže f není omezená shora na M, definujeme supMf ) = ∞.
Jestliže je f omezená zdola na M, definujeme infimum f na M, značené infMf ), jako největší dolní mez f na M.
Jestliže f není omezená zdola na M, definujeme infMf ) = −∞.

Číslo m se nazývá maximum f na M, značeno maxMf ), jestliže splňuje tyto podmínky:
    (1) existuje c z M splňující f (c) = m, a
    (2) f (x) ≤ m pro všechna x z M.
Pokud takové maximum existuje, řekneme, že f nabývá své maximum na M (v c).

Číslo m se nazývá minimum f na M, značeno minMf ), jestliže splňuje tyto podmínky:
    (1) existuje c z M splňující f (c) = m, a
    (2) f (x) ≥ m pro všechna x z M.
Pokud takové minimum existuje, řekneme, že f nabývá své minimum na M (v c).

Na tyto definice se můžeme podívat ještě jinak. Je-li dána funkce f a množina M jako nahoře, můžeme uvažovat množinu všech hodnot f na M, tj.

N = f (M) = { f (x); xM}.

Pak supMf ) = sup(N), infMf ) = inf(N), maxMf ) = max(N) a minMf ) = min(N).

Z toho vyplývá, že supremum a infimum vždy existují, ale maximum a minimum nemusí; pokud nicméně existují, pak souhlasí se supremem a infimem. Dostaneme také přímou definici suprema a infima. například supMf ) je číslo s splňující toto:
    (1) f (x) ≤ s pro všechna x z M.
    (2) Pro každé ε > 0 existuje x z M splňující f (x) > s − ε.

Podobná je definice infima. Teď pár příkladů.

V prvním příkladě: supMf ) = ∞, maxMf ) neexistuje, infMf ) = minMf ) = 2.

V druhém příkladě: supMf ) = 4, maxMf ) neexistuje, infMf ) = 2, minMf ) neexistuje.

Třetí příklad: supMf ) = ∞, maxMf ) neexistuje, infMf ) = minMf ) = 2.

Čtvrtý příklad: supMf ) = maxMf ) = 4, infMf ) = 2, minMf ) neexistuje.

Tyto obrázky by měly vyjasnit, co tyto pojmy znamenají, ukázaly také, že maximum a minimum nemusí být nabyty ani pro omezené funkce na omezené množině. Pro další informace se podívejte na následujicí sekci o spojitosti.

Průsečíky (kořeny)

Průsečíky jsou body, ve kterých graf f kříží osy souřadnicového systému. Jsou dva typy:

- průsečíky s osou x mají souřadnice (x,0), takže funkce musí splňovat f (x) = 0. Průsečíky najdeme řešením této rovnice, ale to nemusí být snadné. Řešení této rovnice se také nazývají kořeny funkce či nulové body funkce. Viz také Metoda bisekce a Newtonova metoda v části Posloupnosti - Teorie - Aplikace. Pokud jste zvědavi na násobnost kořene, podívejte se na tuto poznámku.

- průsečíky s osou y mají souřadnice (0, f (0)), a protože víme, že funkce nemůže mít více hodnot pro jeden argument, vyplývá z toho, že můžeme mít nejvýše jeden takový průsečík. Najdeme jeho souřadnice dosazením 0 do f (pokud je to možné). Jestliže není 0 v definičním oboru f, pak žádný průsečík s osou y není.

Symetrie

Tato vlastnost je velmi důležitá, nejen pro kreslení grafů. Budeme se soustředit na dva druhy symetrie, symetrie okolo osy y a symetrie okolo počátku. Možná by vás také lákalo zkoumat symetrii okolo osy x, ale protože funkce nemůže mít pro jedno x více hodnot, nemá to smysl.

Připomeňme, že symetrickou množinou myslíme libovolnou množinu M splňující podmínku, že jestliže xM, pak také (−x)∈M. Typické příklady jsou intervaly (−K,K) nebo ⟨-K,K pro nějaké kladné K, také (−∞,∞) = ℝ. Funkce, které nejsou definovány na symetrické množině, přirozeně nemohou být symetrické.

Definice (symetrie).
Nechť f je reálná funkce definovaná na symetrické množině M. Řekneme, že tato funkce je sudá, jestliže pro všechna x z M platí

f (−x) = f (x).

Řekneme, že tato funkce je lichá, jestliže pro každé x z M platí

f (−x) = −f (x).

Připomeňme, že graf funkce f (−x) se dostane překlopením grafu f okolo osy y. Sudá funkce je tedy taková funkce, u které překlopení grafu okolo osy y nezmění tvar; jinými slovy, graf je symetrický okolo osy y.

Připomeňme dále, že graf funkce -f (x) se dostane překlopením grafu f okolo osy x. Lichá funkce je tedy taková funkce, že po překlopení jejího grafu okolo osy y dostaneme totéž, co po překlopení grafu okolo osy x. To je možná trochu záhadné, třeba pomůže drobet změnit tu rovnost: f (x) = −f (−x). Tato říka: Jestliže překlopíme graf funkce f okolo osy x a pak okolo osy y, dostaneme zpátky původní graf. To znamená, že liché funkce jsou přesně funkce symetrické vzhledem k počátku.

Je nějaká funkce zároveň sudá a lichá? Ano, je to funkce f (x) = 0 pro všechna x.

Symetrie a operace.
Máme některá pěkná pravidla. Pokud sečteme, odečteme, vynásobíme či vydělíme dvě sudé funkce, dostaneme funkci sudou. Pokud sečteme nebo odečteme dvě liché funkce, dostaneme funkci lichou. Pokud vynásobíme či vydělíme dvě liché funkce, dostaneme funkci sudou.

Důkazy jsou snadné, ukážeme jeden pro ten poslední případ, protože ten možná někoho překvapil. Nechť f,g jsou dvě liché funkce definované na symetrické množině M. Nechť h = fg. Test symetrie: Pro xM máme

h(−x) = f (−x)⋅g(−x) = (−f (x))⋅(−g(x)) = f (x)⋅g(x) = h(x).

Protože h spolklo znaménko, je to sudá funkce.

Součin a podíl dvou funkcí, jedné liché a jedné sudé, je lichá funkce. Pokud ale sečteme či odečteme dvě funkce, jednu sudou a jednu lichou, pak vyjde funkce, která není symetrická, leda že by jedna z těch dvou byla identicky nula.

Jak je to se skládáním? Pokud složíme dvě symetrické funkce, výsledek je zase symetrický. Lichou funkci tak dostaneme pouze složením dvou lichých, všechny ostatní kombinace (sudá-lichá, lichá-sudá, sudá-sudá) vedou na sudou funkci.

Periodicita

Začneme neformální "definicí", nejtypičtějším případem, abychom získali představu o periodicitě.

Uvažujme reálnou funkci f definovanou na celé reálné ose. Nechť T je kladné číslo. Řekneme, že f je periodická s periodou T, jestliže pro všechna reálná čísla x platí

f (x + T ) = f (x).

Krátce říkáme, že f je T-periodická. Vzorec říká, že když se podíváme na nějaký bod grafu f a skočime doprava o T, hodnota funkce musí zůstat stejná.

Všimněte si, že jestliže platí tato podmínka, pak také pro všechna celá čísla n platí f (x + nT ) = f (x). Proč je tomu tak? Pokud použijeme původní rovnost s číslem (x + T ) namísto x (i to je reálné číslo), dostaneme f (x + 2T ) = f (x + T ). Když to dáme dohromady s původní rovností, dostaneme f (x + 2T ) = f (x). Pak nůžeme použít původní rovnost s (x + 2T ) namísto x, dostaneme f (x + 3T ) = f (x + 2T ) a tedy f (x + 3T ) = f (x). Slovy, ona rovnost nám umožňuje poskakovat doprava o T beze změny hodnoty funkce a můžeme ji použít, kolikrát chceme. Jak se dostaneme doleva? Když použijeme původní rovnici s (x − T ) namísto x, dostaneme f (x) = f (x − T ), vícenásobným použitím dostaneme f (x) = f (x − 2T ) atd.

Rovnice   f (x + nT ) = f (x)   se někdy používá jako definice periody T.

Zde je příklad 2-periodické funkce.

Všimněte si, že jakmile najdeme jednu periodu, máme jich nekonečně mnoho, protože pro každé přirozené číslo k jsou T-periodické funkce rovněž kT-periodické. Můžeme totiž psát

f (x + n(kT )) = f (x + (nk)T ) = f (x).

Například na obrázku nahoře můžeme rovněž skákat doprava a doleva o 4 nebo o 6 nebo... beze změny hodnoty f. Jiný způsob, jak chápat periodicitu: Pokud posuneme graf f doprava/doleva o T, tak se graf nezmění. Další způsob, jak vidět periodicitu (občas velice užitečný): Tvar celého grafu je určen tvarem jednoho jeho kousku. Tento kousek má šířku T a graf se dostane tak, že lepíme kopie tohoto kousku jednu za druhou. Na obrázku jsme naznačili čtyři možné takové kousky.

Víme, že když najdeme periodu, jsou i všechny násobky přirozenými čísly periodami. Někdy ale dostaneme periodu i vydělením, pokud jsme předtím nějakou menší přehlédli. Například v tom posledním obrázku jsme si mohli nejprve všimnout periody 4 a teprve poté zjistit, že je tam vlastně i perioda 2. Existuje nějaká ještě menší perioda taková, že je 2 jejím celočíselným násobkem? No, nevypadá to na to.

Bývá užitečné najít jednu základní periodu, která pak dá všechny ostatní, tj. najít periodu p takovou, že všechny ostatní jsou ve tvaru np. To se často podaří, dá se například ukázat, že když máme více celočíselných period, pak jejich největší společný dělitel je také perioda. Na obrázku je asi 2 takovou základní periodou. Je nicméně třeba dodat, že v praxi nebývá znalost základní periody až tak kritická. Navíc se může stát, že taková základní perioda vůbec neexistuje.

Může se například stát, že funkce má dvě různé periody a nejsme schopni najít společnou, která by byla základní pro obě. Jsou i podivnější případy, například konstantní funkce f (x) = 13 má libovolné kladné číslo jako svou periodu. Pro každé T > 0 a libovolné x totiž máme f (x + T ) = 13 = f (x). Evidentně neexistuje žádná základní perioda, ze které bychom dostali ty ostatní. Jestli chcete vidět opravdovou divočinu, podívejte se na Dirichletovu funkci v části Teorie - Elementární funkce, kde najdete funkci, která má jako periody všechna racionální čísla, ale nemá žádnou iracionální periodu.

Často bychom rádi použili ideu periodicity (to, že graf je opakováním jednoho základního tvaru) také pro funkce, jejichž definiční obor není celá reálná osa. Algebraická podmínka bude stejná, jen teď musíme být opatrní, abychom nevyskočili z definičního oboru. Zde je definice:

Definice.
Uvažujme reálnou funkci f. Nechť T je kladné číslo. Řekneme, že f je periodická s periodou T, jestliže pro každé reálné číslo x splňující xDf ) a (x + T )∈Df ) platí

f (x + T ) = f (x).

Podobně jako předtím dostaneme z definice i f (x + nT ) = f (x) pro celá čísla n, pokud jsou argumenty funkcí v rovnici v definičním oboru f. Když teď máme obecnou definici periodické funkce, jak si je představujeme? Je to vlastně velice podobné, celý graf se dostane opakováním jednoho kusu o šířce T. Může jich být nekonečně mnoho, teď ale mohou být díry v definičním oboru, jak je tomu na následujícím obrázku. Vyznačili jsme dva možné kousky.

Můžeme ale mít i konečný počet opakování, například následující funkce vypadá jako (1/2)-periodická.

Co se dá říct o periodických funkcích a operacích? Když sečteme/odečteme, vynásobíme či vydělíme dvě periodické funkce, výsledek je zase periodický. Perioda výsledku je nejmenší společný násobek původních dvou period. Tento výrok říká, že určité periody se zachovávají, ale může se také stát, že některé přibydou. pokud například vydělíme sinus kosinem, obojí 2π-periodické, dostaneme tangens, který je π-periodický.

Když složíme dvě funkce a ta vnitřní je periodická, pak je celá kompozice periodická. Poslední fakt: Jestliže funkce f je T-periodická, pak funkce f (Ax) je T/|A|-periodická.


Spojitost reálných funkcí
Zpět na Teorie - Reálné funkce