Zde uvedeme některé základní vlastnosti funkcí z teoretického pohledu. Začneme omezeností, pak přejdeme na průsečíky s osami, symetrii a periodicitu. Pro praktický přístup viz Omezenost, Symetrie a Periodicita v Přehledu metod.
Definice.
Řekneme, že reálná funkce f je omezená zdola, jestliže existuje číslo k takové, že pro všechnna x z definičního oboruD( f ) platíf (x) ≥ k.
Řekneme, že reálná funkce f je omezená shora, jestliže existuje číslo K takové, že pro všechna x z definičního oboruD( f ) platíf (x) ≤ K.
Řekneme, že reálná funkce f je omezená, jestliže je zároveň omezená shora i zdola.
Ekvivalentně, funkce f je omezená jestliže existuje číslo h
takové, že pro všechna x z definičního oboru
Omezenost shora znamená, že existuje vodorovná čára tak, že celý graf funkce
leží pod ní. Omezenost zdola znamená, že graf leží nad nějakou vodorovnou
čárou. Omezenost znamená, že je možné uzavřít celý graf mezi dvě vodorovné
přímky. Nerovnosti v definici lze zkrátit takto:
Konstanty k a K se nazývají dolní a
horní mez pro f. Jestliže existuje jedna mez, pak jich je
nekonečně mnoho. Například jestliže f je nejvýše 1, pak také
Na následujícím obrázku to vypadá, že funkce vlevo je omezená, zatímco ta napravo je asi omezená zdola, ale ne shora, tudíž ani není omezená. Naznačili jsme některé horní a dolní odhady, u pravého obrázku jsme se také několikrát pokusili o horní odhad, ale nevyšlo to, abychom naznačili, že žádná pokusná horní mez by nefungovala (za předpokladu, že ta funkce pokračuje dál v naznačeném trendu).
Začátečník může mít odpustitelný pocit, že pokud má funkce omezený definiční
obor (například když je definována na konečném uzavřeném intervalu jako
Jediný případ, kdy definiční obor určí omezenost, je poněkud extrémní: Jestliže je funkce definována jen na konečné množině, pak je automaticky omezená, protože má pouze konečně mnoho hodnot - každá konečná množina má maximum a minimum. I když takové funkce existují, jsou to příšerky držené v zoo matematických kuriozit za účelem polapení neopatrných studentů, v praxi se s nimi člověk nesetkává.
Pro podmnožinu M definičního oboru f můžeme definovat
omezenost na množině. Definice jsou podobné, chceme mez
(horní, dolní, obě) univerzální pro
Omezenost na množině se používá často, vhod přichází toto jednoduché pozorování.
Fakt.
Nechť f je funkce omezená na nějaké množině M. Pak je f také omezená na všech podmnožinách M.
Co se dá říci o omezenosti a operacích? Jestliže sčítáme, odčítáme či
násobíme dvě omezené funkce, pak výsledek je zase omezený. Pokud skládáme dvě
funkce a ta vnější je omezená, pak je celá kompozice omezená.
Co nefunguje? Pokud skládáme dvě funkce a ta vnitřní je omezená, pak
výsledná nemusí být omezená. Například funkce
Podobně když dělíme dvě omezené funkce, výsledek nemusí být omezený, pokud se
ta ve jmenovateli přiblíží libovolně blízko k nule. Příklad:
Když začneme uvažovat funkce neomezené, může nastat mnoho situací, příliš na to, abychom je tu probírali. Dá se říct něco určitého pro omezenost shora/zdola, v zásadě se to řídí selským rozumem. Například když sečteme nebo vynásobíme dvě funkce omezené zdola, dostaneme funkci omezenou zdola. Pokud odečteme funkci omezenou zdola od funkce omezené shora, dostaneme funkci omezenou shora (napište si příslušné nerovnosti, uvidíte to). Pokud nemáme ani omezenost částečnou, pak je možné cokoliv, například součet dvou takových funkcí může být omezený, omezený shora, omezený zdola nebo zcela neomezený.
Jedna z možností, jak se dívat na omezenost na množině, je položit si následující otázku: Jak vysoko či nízko jde f na dané množině M (podmnožině definičního oboru)?
Definice.
Nechť M je neprázdná podmnožina definičního oboru funkce f.
Jestliže je f omezená shora na M, definujeme supremum f na M, značenésupM( f ), jako nejmenší horní mez f na M.
Jestliže f není omezená shora na M, definujemesupM( f ) = ∞.
Jestliže je f omezená zdola na M, definujeme infimum f na M, značenéinfM( f ), jako největší dolní mez f na M.
Jestliže f není omezená zdola na M, definujemeinfM( f ) = −∞. Číslo m se nazývá maximum f na M, značeno
maxM( f ), jestliže splňuje tyto podmínky:
(1) existuje c z M splňujícíf (c) = m, a
(2)f (x) ≤ m pro všechna x z M.
Pokud takové maximum existuje, řekneme, že f nabývá své maximum na M (v c).Číslo m se nazývá minimum f na M, značeno
minM( f ), jestliže splňuje tyto podmínky:
(1) existuje c z M splňujícíf (c) = m, a
(2)f (x) ≥ m pro všechna x z M.
Pokud takové minimum existuje, řekneme, že f nabývá své minimum na M (v c).
Na tyto definice se můžeme podívat ještě jinak. Je-li dána funkce f a množina M jako nahoře, můžeme uvažovat množinu všech hodnot f na M, tj.
N = f (M) = { f (x); x∈M}.
Pak
Z toho vyplývá, že supremum a infimum vždy existují, ale maximum a minimum
nemusí; pokud nicméně existují, pak souhlasí se supremem a infimem. Dostaneme
také přímou definici suprema a infima. například
(1)
(2) Pro každé
Podobná je definice infima. Teď pár příkladů.
V prvním příkladě:
V druhém příkladě:
Třetí příklad:
Čtvrtý příklad:
Tyto obrázky by měly vyjasnit, co tyto pojmy znamenají, ukázaly také, že maximum a minimum nemusí být nabyty ani pro omezené funkce na omezené množině. Pro další informace se podívejte na následujicí sekci o spojitosti.
Průsečíky jsou body, ve kterých graf f kříží osy souřadnicového systému. Jsou dva typy:
- průsečíky s osou x mají
souřadnice
- průsečíky s osou y mají souřadnice
Tato vlastnost je velmi důležitá, nejen pro kreslení grafů. Budeme se soustředit na dva druhy symetrie, symetrie okolo osy y a symetrie okolo počátku. Možná by vás také lákalo zkoumat symetrii okolo osy x, ale protože funkce nemůže mít pro jedno x více hodnot, nemá to smysl.
Připomeňme, že symetrickou množinou myslíme libovolnou množinu
M splňující podmínku, že jestliže
Definice (symetrie).
Nechť f je reálná funkce definovaná na symetrické množině M. Řekneme, že tato funkce je sudá, jestliže pro všechna x z M platí
f (−x) = f (x). Řekneme, že tato funkce je lichá, jestliže pro každé x z M platí
f (−x) = −f (x).
Připomeňme, že graf funkce
Připomeňme dále, že graf funkce
Je nějaká funkce zároveň sudá a lichá? Ano, je to funkce
Symetrie a operace.
Máme některá pěkná pravidla. Pokud sečteme, odečteme, vynásobíme či vydělíme
dvě sudé funkce, dostaneme funkci sudou. Pokud sečteme nebo odečteme dvě
liché funkce, dostaneme funkci lichou. Pokud vynásobíme či vydělíme dvě liché
funkce, dostaneme funkci sudou.
Důkazy jsou snadné, ukážeme jeden pro ten poslední případ, protože ten možná
někoho překvapil. Nechť f,g jsou dvě liché funkce definované na
symetrické množině M. Nechť
Protože h spolklo znaménko, je to sudá funkce.
Součin a podíl dvou funkcí, jedné liché a jedné sudé, je lichá funkce. Pokud ale sečteme či odečteme dvě funkce, jednu sudou a jednu lichou, pak vyjde funkce, která není symetrická, leda že by jedna z těch dvou byla identicky nula.
Jak je to se skládáním? Pokud složíme dvě symetrické funkce, výsledek je zase symetrický. Lichou funkci tak dostaneme pouze složením dvou lichých, všechny ostatní kombinace (sudá-lichá, lichá-sudá, sudá-sudá) vedou na sudou funkci.
Uvažujme reálnou funkci f definovanou na celé reálné ose. Nechť T je kladné číslo. Řekneme, že f je periodická s periodou T, jestliže pro všechna reálná čísla x platí
Krátce říkáme, že f je T-periodická. Vzorec říká, že když se podíváme na nějaký bod grafu f a skočime doprava o T, hodnota funkce musí zůstat stejná.
Všimněte si, že jestliže platí tato podmínka, pak také pro všechna celá čísla
n platí
Rovnice
Zde je příklad 2-periodické funkce.
Všimněte si, že jakmile najdeme jednu periodu, máme jich nekonečně mnoho, protože pro každé přirozené číslo k jsou T-periodické funkce rovněž kT-periodické. Můžeme totiž psát
Například na obrázku nahoře můžeme rovněž skákat doprava a doleva o 4 nebo o 6 nebo... beze změny hodnoty f. Jiný způsob, jak chápat periodicitu: Pokud posuneme graf f doprava/doleva o T, tak se graf nezmění. Další způsob, jak vidět periodicitu (občas velice užitečný): Tvar celého grafu je určen tvarem jednoho jeho kousku. Tento kousek má šířku T a graf se dostane tak, že lepíme kopie tohoto kousku jednu za druhou. Na obrázku jsme naznačili čtyři možné takové kousky.
Víme, že když najdeme periodu, jsou i všechny násobky přirozenými čísly periodami. Někdy ale dostaneme periodu i vydělením, pokud jsme předtím nějakou menší přehlédli. Například v tom posledním obrázku jsme si mohli nejprve všimnout periody 4 a teprve poté zjistit, že je tam vlastně i perioda 2. Existuje nějaká ještě menší perioda taková, že je 2 jejím celočíselným násobkem? No, nevypadá to na to.
Bývá užitečné najít jednu základní periodu, která pak dá všechny ostatní, tj. najít periodu p takovou, že všechny ostatní jsou ve tvaru np. To se často podaří, dá se například ukázat, že když máme více celočíselných period, pak jejich největší společný dělitel je také perioda. Na obrázku je asi 2 takovou základní periodou. Je nicméně třeba dodat, že v praxi nebývá znalost základní periody až tak kritická. Navíc se může stát, že taková základní perioda vůbec neexistuje.
Může se například stát, že funkce má dvě různé periody a nejsme schopni najít
společnou, která by byla základní pro obě. Jsou i podivnější případy,
například konstantní funkce
Často bychom rádi použili ideu periodicity (to, že graf je opakováním jednoho základního tvaru) také pro funkce, jejichž definiční obor není celá reálná osa. Algebraická podmínka bude stejná, jen teď musíme být opatrní, abychom nevyskočili z definičního oboru. Zde je definice:
Definice.
Uvažujme reálnou funkci f. Nechť T je kladné číslo. Řekneme, že f je periodická s periodou T, jestliže pro každé reálné číslo x splňujícíx∈D( f ) a(x + T )∈D( f ) platí
f (x + T ) = f (x).
Podobně jako předtím dostaneme z definice i
Můžeme ale mít i konečný počet opakování, například následující funkce vypadá jako (1/2)-periodická.
Co se dá říct o periodických funkcích a operacích? Když
sečteme/odečteme, vynásobíme či vydělíme dvě periodické funkce, výsledek je
zase periodický. Perioda výsledku je nejmenší společný násobek původních dvou
period. Tento výrok říká, že určité periody se zachovávají, ale může se také
stát, že některé přibydou. pokud například vydělíme sinus kosinem, obojí
Když složíme dvě funkce a ta vnitřní je periodická, pak je celá kompozice
periodická. Poslední fakt: Jestliže funkce f je T-periodická,
pak funkce