Monotonie reálných funkcí

Zde zavedeme pojem monotonie. Má dvě formy, lokální verzi a globální verzi. Lokální pojmy dávají informaci o vlastnostech funkce v daném bodě a jeho bezprostředním okolí, nedovolí říct nic o funkci dále od tohoto bodu. Tím začneme, probereme monotonii v bodě a lokální extrémy. Globální vlastnosti studují funkci jako celek. Podíváme se na globální monotonii a globální extrémy. Často se dá dostat globální informace z lokální a naopak, ale každý z těchto dvou úhlů pohledu nabízí informaci, kterou ten druhý nemá.

Zde se podíváme na monotonii z teoretického pohledu, praktický přístup přes derivace najdete v sekci Monotonie v části Derivace - Teorie - Průběh funkce.

Monotonie v bodě, lokální extrémy

Je-li dána funkce f a bod a z jejího definičního oboru, můžeme se podívat na f okolo a a porovnat hodnoty s f (a). Jsou v zásadě čtyři užitečné případy.

Definice (lokální monotonie).
Nechť a náleží do definičního oboru funkce f.

Řekneme, že f je rostoucí v a, jestliže existuje okolí U bodu a takové, že pro všechna x z U ∩ Df ) platí:

•   Jestliže x > a, pak f (x) > f (a),
•   jestliže x < a, pak f (x) < f (a).

Řekneme, že f je neklesající v a, jestliže existuje okolí U bodu a takové, že pro všechna x z U ∩ Df ) platí:

•   Jestliže x > a, pak f (x) ≥ f (a),
•   jestliže x < a, pak f (x) ≤ f (a).

Řekneme, že f je klesající v a, jestliže existuje okolí U bodu a takové, že pro všechna x z U ∩ Df ) platí:

•   Jestliže x > a, pak f (x) < f (a),
•   jestliže x < a, pak f (x) > f (a).

Řekneme, že f je nerostoucí v a, jestliže existuje okolí U bodu a takové, že pro všechna x z U ∩ Df ) platí:

•   Jestliže x > a, pak f (x) ≤ f (a),
•   jestliže x < a, pak f (x) ≥ f (a).

Co tyto definice znamenají? Podívejme se na tu první. Za prvé, definice je lokální. Začíná se tím, že se stipuluje existence nějakého okolí a, na kterém něco platí, chování mimo toto okolí je irelevantní. Nikde se také negarantuje nějaká velikost tohoto okolí, může být extrémně malé, což občas může působit problémy. Takže se podíváme na to okolí, co se tam děje. Začneme v a, kde má funkce hodnotu f (a). Když se podíváme na f doprava od a, funkce se zvětší. Když se podíváme nalevo, funkce se zmenší. Zdá se tedy přirozené, se pak f nazve rostoucí v a.

Druhý případ je podobný, teď ale také funkci dovolíme být rovna f (a) na U. Další dva případy jsou přesně opačná tendence pro f. Zde jsou typické příklady těchto pojmů:

Všimněte si, že rostoucí automaticky implikuje neklesající a klesající automaticky implikuje nerostoucí. Rostoucí a klesající nemohou být pravda najednou. Na druhou stranu je možné, aby byla funkce v nějakém bodě zároveň nerostoucí a neklesající. Pokud je funkce konstantní na nějakém okolí bodu, pak tam splňuje obě tyto podmínky.

Poznamenejme, že nelze očekávat nějaké tendence nebo pěkné vlastnosti v jiných bodech než v a, dokonce ani na okolí U. Zde je relativně krotký příklad funkce neklesající v a,

ale může být i hůře. V sekci "Pilovité" funkce v části Teorie - Elementární funkce ukážeme příklad funkce, která je v určitém bodě rostoucí, ale neexistuje žádné okolí tohoto bodu, kde by funkce byla monotonní nebo spojitá.

Nejlepší, co se tedy dá říci na základě lokální monotonie, je, že na nějakém okolí bodu a musí graf funkce zůstat v příslušných "kvadrantech centrovaných v (af (a))", jak je naznačeno v obrázku, vlevo je naznačeno rostoucí a neklesající, vpravo klesající a nerostoucí.

Důležitá poznámka.
Tato terminologie není bohužel všeobecně uznávaná. Někteří lidé nepoužívají názvy rostoucí, neklesající, klesající, nerostoucí, ale místo toho říkají (ve stejném pořadí) ryze (striktně) rostoucí, rostoucí, ryze (striktně) klesající, klesající. Obě terminologie mají zhruba stejně zastánců a stejně přesvědčivé argumenty, takže je těžké si vybrat. Většinou lidé posílají dál, co dostali od svých učitelů, což zde dělám i já, navíc si myslím, že jednoslovné názvy jsou trochu lepší a zde definované pojmy i výstižnější :-). Většinou nenastávají problémy, nicméně lidé, kteří používají tu druhou terminologii, budou muset změnit znění některých vět. Pak nastává drobný zmatek, ale naštěstí se to zase nestává až tak často. Dáme obvyklou radu: Zajděte si na přednášku zjistit, jakou terminologii používá váš profák, a té se držte.

Další poznámka.
Je také možné se zeptat na jednostrannou monotonii. Například aby byla funkce rostoucí v a zprava, museli bychom najít pravé prstencové okolí U bodu a tak, aby f (x) > f (a) pro všechna x z tohoto pravého prstencového okolí; připomeňme, že pravé prstencové okolí je interval typu (a,b) pro nějaké b > a. Podobně se definují ostatní pojmy zprava a zleva.

Lokální extrémy

Připomeňme si ty obrázky s kvadranty nahoře. Může se také stát, že když omezíme funci na nějaké vhodné okolí, pak graf zůstane v určitých kvadrantech, ale nejsou typu (když jdeme zleva doprava) "pod-nad" či "nad-pod" jako výše. Jaké jsou další možnosti? Jsou dvě, "pod-pod" a "nad-nad".

Typické příklady (když je funkce velmi pěkná) jsou

Protože "vršek" a "dolík" ukazují, že funkce je poněkud extrémní v bodě a, zdá se jméno "extrém" namístě, a protože máme informaci jen na okolí, je lokální.

Definice (lokální extrémy).
Nechť f je funkce definovaná na nějakém okolí bodu a.

Řekneme, že flokální maximum v a, nebo že f (a) je lokální maximum funkce f, jestliže existuje okolí U bodu a takové, že pro všechna x z U ∩ Df ) platí:

f (x) ≤ f (a).

Řekneme, že flokální minimum v a, nebo že f (a) je lokální minimum funkce f, jestliže existuje okolí U bodu a takové, že pro všechna x z U ∩ Df ) platí:

f (x) ≥ f (a).

Jméno lokální extrém je obecný název pro lokální maximum a lokální minimum. Někteří lidé také rozlišují ostré lokální extrémy, což v zásadě znamená, že vylučují konstantní situaci. Definice ostrého lokálního maxima je jako ta výše, ale bere se ostrá nerovnost; podobně pro ostré lokální minimum.

Je to zase lokální pojem, takže když máme lokální extrém, není žádná jistota, že se funkce chová rozumně kolem onoho bodu, dokonce ani na okolíU.

Může být bod zároveň lokálním maximem a lokálním minimem? Zní to divně, ale ano, pokud je funkce konstantní na nějakém okolí tohoto bodu.

Globální monotonie

Zde se podíváme na funkci jako na celek na nějaké podmnožině M jejího definičního oboru. Typicky bude M interval (včetně nekonečného) nebo sjednocení intervalů.

Definice (globální monotonie).
Nechť M je podmnožina definičního oboru funkce f.

Řekneme, že f je rostoucí na M, jestliže pro všechna x,y z M splňující x < y platí f (x) < fy).

Řekneme, že f je neklesající na M, jestliže pro všechna x,y z M splňující x < y platí f (x) ≤ fy).

Řekneme, že f je klesající na M, jestliže pro všechna x,y z M splňující x < y platí f (x) > fy).

Řekneme, že f je nerostoucí na M, jestliže pro všechna x,y z M splňující x < y platí f (x) ≥ fy).

Řekneme, že f je monotonní na M, jestliže splňuje jednu z těchto čtyř podmínek.
Řekneme, že f je ryze monotonní na M, jestliže je rostoucí na M nebo klesající na M.

Tyto podmínky jsou v zásadě velmi jednoduché. Pro rostoucí funkci, když se posuneme doprava, funkce musí jít nahoru. Pro klesající musí jít dolů. Ty "ne" verze jsou podobné, ale u nich se také funkci dovolí, aby chvíli zůstala stejná.

Tento pojem nedává moc smyslu, pokud M není rozumná, typicky nedegenerovaný interval nebo sjednocení takových intervalů. Zde jsou tři typické příklady funkce monotonní na intervalu; první funkce je rostoucí, druhá neklesající, třetí klesající. Čtvrtá funkce není na vyznačeném intervalu monotonní.

Připomeňme, že podmínky v definici monotonie jsou typu "pro každý pár xy...". Abychom takovou podmínku porušili, stačí najít jeden protipříklad, tedy jeden pár bodů, který dotyčnou podmínku nesplňuje. U čtvrtého příkladu jsme označili pár xy, který je protipříkladem na to, aby byla funkce rostoucí nebo neklesající, protože když jdeme z x do y, tak funkce klesne a tak poruší ony dvě relevantní nerovnosti. Označili jsme také pár u,v, který dá protipříklad na to, aby byla funkce klesající nebo nerostoucí, protože když jdeme z u do v, tak funkce vzroste.

Všimněte si zase, že rostoucí automaticky implikuje neklesající a klesající automaticky implikuje nerostoucí. Rostoucí a klesající se navzájem vylučují, ale jsou funkce, které jsou zároveň nerostoucí a neklesající na M - jmenovitě konstantní funkce na M.

Důležitá poznámka.
Stejně jako v lokálním případě, i zde není terminologie obecně uznávaná. Někteří lidé nepoužívají jména rostoucí, neklesající, klesající, nerostoucí, ale místo toho říkají (ve stejném pořadí) ryze (striktně) rostoucí, rostoucí, ryze (striktně) klesající, klesající. Dobrá zpráva je, že pro ně má monotonní a ryze monotonní stejný význam, takže pokud se tento termín použije ve větě, funguje pro oba tábory stejně.

Spojování intervalů monotonie.
Monotonie se nejsnáze zkoumá na intervalech a máme na to dobré nástroje. Je možné spojit informaci o jednotlivých intervalech dohromady? Uvažujme následující situaci. Máme funkci f a dva nedegenerované intervaly I a J. Pro jednoduchost předpokládejme, že I leží nalevo od J, tj. že max(I ) < min(J ). Předpokládejme dále, že f je na obou intervalech monotonní. Co se dá říci o monotonii f na jejich sjednocení?

To záleží na tom, jakou monotonii máme. Je jasné, že když je f na jednom intervalu rostoucí a na druhém klesající, pak nemůže být monotonní na jejich sjednocení (namalujte si obrázek). Jediný zajímavý případ je, když máme na obou intervalech stejný typ monotonie. Představme si, že víme, že f je rostoucí na I a rostoucí na J. Je pak nějaká monotonie na množině získané jejich sjednocením? To je velmi dobrá otázka, už proto, že studenty většinou značně nudí psát dvě monotonie tak, jak jsme to udělali před chvílí, a proto to často raději napíší takto: "f je rostoucí na I ∪ J". Bohužel, velice často je to špatně a ztratí za to body. Zde je jeden takový příklad, u obrázku napravo vyznačíme dva body, které jsou protipříkladem proti tomu, aby byla f rostoucí na sjednocení jako na jedné množině.

Dostáváme se tak k prvnímu důležitému bodu této části: Pokud to napíšete tak, jak jsme to udělali předtím, "f je rostoucí na I a rostoucí na J", bude to vždy správně. Pokud se vám to zdá příliš dlouhé, zkuste "f je rostoucí na I a na J". Pokud vás něco nenutí k bližšímu zkoumání, prostě to tak nechte.

Co když ale opravdu chceme vědět více, například když se po nás chtějí "maximální intervaly monotonie"? Za prvé, máme tu jedno snadné pravidlo: Pokud se tyto dva intervaly protínají, pak dostaneme monotonii na jejich jednocení, protože ten průnik slouží jako pěkný most z jedné části grafu ke druhé. Co když jsou intervaly disjunktní, jako tomu bylo u obrázku nahoře? Obrázek naznačuje, co bychom měli udělat. Měli bychom nějak porovnat hodnoty ze sousedních konců intervalů a ujistit se, že neposkočí špatným směrem. Máme tedy následující pravidla:

Nechť je interval I nalevo od intervalu J, což také znamená, že jsou disjunktní.
1. Jestliže je f neklesající na I a neklesající na J, a jestliže supIf ) ≤ infJf ), pak f je neklesající na I ∪ J.
2. Jestliže je f rostoucí na I a rostoucí na J, a jestliže supIf ) ≤ infJf ) ale neplatí maxIf )=minJf ), pak f je rostoucí na I ∪ J.
3. Jestliže je f nerostoucí na I a nerostoucí na J, a jestliže infIf ) ≥ supJf ), pak f je nerostoucí na I ∪ J.
4. Jestliže je f klesající na I a klesající na J, a jestliže infIf ) ≥ supJf ) ale neplatí minIf )=maxJf ), pak f je klesající na I ∪ J.

Nakreslete si obrázek, ať se přesvědčíte, že tato tvrzení mají smysl. Jsou trochu komplikovaná, protože jsme museli brát ohled na otevřené a uzavřené množiny, ale je to vlastně všechno jen selský rozum, v praxi je to mnohem snažší než přesné (a trochu nestravitelné) matematické formulace.

Lokální a globální: vzájemný vztah.

Jestliže je množina M jen nějaká obecná podmnožina definičního oboru funkce f, pak je malá naděje na provázání lokální a globální monotonie. Jakmile ale přejdeme k intervalům, věci se stanou pěknými.

Věta.
Jestliže je f funkce monotonní na intervalu, pak je monotonní (stejným způsobem) ve všech vnitřních bodech tohoto intervalu.

Pokud tento interval obsahuje některý z koncových bodů, pak tam dostaneme jednostrannou monotonii, ale protože tento pojem není příliš používán, nedali jsme to do věty. Teď to zkusíme naopak.

Věta.
Jestliže f je funkce monotonní stejným způsobem ve všech bodech otevřeného intervalu, pak je funkce monotonní (stejným způsobem) na tomto intervalu.

Proč "otevřený"? Protože opak předchozí věty (kde jsme povolili libovolný interval) by nefungoval. Například funkce na následujícím obrázku je rostoucí ve všech vnitřních bodech označeného intervalu, ale není na něm rostoucí (zkuste jít z a do libovolného jiného bodu tohoto intervalu a funkce klesne).

Dalo by se to napravit použitím jednostranné monotonie v koncových bodech, ale tento pojem je poněkud obskurní a většina lidí o tom nikdy neslyšela. Proto jsme dali přednost poněkud slabší, ale mnohem praktičtější verzi tvrzení používající spojitost:

Věta.
Jestliže je f funkce monotonní stejným způsobem v každém vnitřním bodě intervalu a spojitá na celém tomto intervalu, pak je monotonní (stejným způsobem) na tomto intervalu.

Poznamenejme, že spojitost na intervalu vlastně obsahuje jednostranný pojem, ale spojitost zleva/zprava je standardní pojem, takže to není problém.

Teď se podíváme, jak může monotonie pomoci s jinými vlastnostmi.

Věta.
Jestliže je funkce monotonní na intervalu, pak konvergují všechny jednostranné limity funkce ve vnitřních bodech tohoto intervalu. Existují i příslušné jednostranné limity v krajních bodech, ať už v tom intervalu leží či ne.

Limity v krajních bodech tedy existují, ale mohou být nekonečné.

Věta.
Jestliže je funkce ryze monotonní na množině, pak je tam nutně prostá a příslušná inverzní funkce je také monotonní (stejným způsobem).

Pokud také máme spojitost a pracujeme na intervalu, stává se tato implikace ekvivalencí.

Věta.
Nechť f je funkce spojitá na intervalu I. Pak je f prostá na I tehdy a jen tehdy, je-li ryze monotonní na I. Pokud tomu tak je, pak příslušná inverzní funkce je také spojitá a monotonní na svém definičním oboru.

Všechny tyto pojmy - lokální a globální monotonie, lokální extrémy - se pohodlně zkoumají pomocí derivací, což je vysvětleno v sekci Monotonie v části Derivace - Teorie - Průběh funkce.

Globální extrémy

Víme, že když uvažujeme funkci f na množině M, můžeme vždy najít její supremum a infimum na této množině, a pokud máme štěstí, můžeme také najít její maximum a minimum na této množině (viz Základní vlastnosti). Maximum a minimum jsou globální extrémy na této množině. Zatímco mezi lokální a globální monotonií jsme měli blízký vztah, s extrémy je to komplikovanější. Například v následujícím příkladě máme lokální maximum a minimum, ale nemáme globální maximum a to globální minimum není lokální minimum.

Jistý vztah mezi lokálními a globálními extrémy nicméně existuje.

Věta.
Nechť je f definovaná na omezeném uzavřeném intervalu I. Jestliže f nabývá svého globálního extrému v bodě c, pak buď má f lokální extrém v c nebo je c koncový bod I.

Z toho ale pořád neplyne, že by takové globální extrémy měly existovat. Dá se to nějakým způsobem garantovat? Je tu jedna užitečná věta.

Věta (o extrémní hodnotě).
Každá funkce spojitá na omezeném uzavřeném intervalu nabývá své maximum a minimum na tomto intervalu.

Podívejme se na tuto větu blíže. Je to implikace, globální extrémy můžeme mít i v jiných případech. V následujícím obrázku je funkce, která není spojitá, ale má globální extrémy na množině, která není omezená ani uzavřená. Mimochodem, obrázek také ukazuje, že je možno mít víc globálních extrémů, nemusí být jedinečné.

Věta dává nutné podmínky, bez kterých globální extrémy nemusí být zaručeny a jejich existence je pak otázkou štěstí jako u předchozího obrázku. Podívejme se teď na další:

Obrázek nalevo ukazuje, že funkce spojitou na uzavřeném intervalu nemusí mít maximum, omezenost citelně chybí. Další tři obrázky mají všechny omezený interval, ale mají jiné problémy. Dva obrázky uprostřed mají otevřené intervaly a nemají maxima, ačkoliv ta napravo je dokonce omezená. Ukazuje to, že bez uzavřenosti také nemůžeme zaručit nic. Obrázek zcela napravo ukazuje, že ani omezené uzavřené intervaly nemusí nic zaručit, pokud vynecháme spojitost. Potřebujeme tedy všechny tři vlastnosti, dvě nestačí.

Pro praktický přístup k hledání globálních extrémů odkazujeme na sekci Globální extrémy v části Derivace - Teorie - Aplikace.


Konvexita reálných funkcí
Zpět na Teorie - Reálné funkce