Jsou dva základní způsoby, jak přistoupit ke spojitosti. Jeden je ten, který jsme použili zde v Math Tutoru, definovali jsme spojitost pomocí pojmu limity. Ja ale také možné definovat spojitost bez použití limity, což je "čistější" z teoretického pohledu. Matematici s teoretičtějím náhledem na věc proto dávají přednost tomuto alternativnímu přístupu a my jej zde ukážeme, protože je možné, že se s tím někteří studenti setkají.
Definice vypadá následovně.
Definice.
Nechť f je funkce definovaná na nějakém okolí bodu a. Řekneme, že funkce f je spojitá v a, jestliže pro každéε > 0 existujeδ > 0 takové, že pro všechna x zD( f ) splňující|x − a| < δ platí| f (x) − f (a)| < ε.
Zkusíme si to přeložit do "normálního" jazyka. Tato definice je v zásadě hra
(ona populární hra "epsilon-delta"), podobná té, která se používá při náhledu
na pojem
limity. My jsme strana, která
se snaží ukázat, že daná funkce je spojitá v daném bodě. Náš protivník se nám
to snaží zkazit. Dá nám toleranci ε. Naším úkolem je zajistit, že
se funkce nehne od hodnoty
Matematicky, někdo nám dá toleranci
ε. My máme najít
δ tak, abychom mohli vzít
každé x z definičního oboru
Teď si připomeňme dva příklady ze sekce o spojitosti.
Jak si s nimi tato definice poradí? V následujícím obrázku jsme
zkusili pro každou funkci ukázat dvě hry. Pro dva rozdílné epsilony jsme
zkusili najít odpovídající delta a části grafu, které tomu odpovídají, jsme
zvýraznili. U prvního příkladu (první řada obrázků) se zdá, že ať je nám dáno
jakékoliv epsilon, třeba i velice malé, stejně dokážeme najít delta tak, aby
odpovídající část grafu ležela v pruhu daném tolerancí epsilon okolo úrovně
Všimněte si, že obě nerovnosti v definici lze pěkně zapsat pomocí okolí.
Podmínka spojitosti pak vypadá mnohem lépe, je to takto: Pro každé
Podobně definujeme jednostrannou spojitost, jen musíme omezit x na příslušnou stranu od a.
Definice.
Nechť f je funkce definovaná na nějakém levém okolí bodu a. Řekneme, že funkce f je spojitá zleva v a, jestliže pro každéε > 0 existujeδ > 0 takové, že pro všechna x zD( f ) splňujícía − δ < x ≤ a platí| f (x) − f (a)| < ε.
Nechť f je funkce definovaná na nějakém pravém okolí bodu a. Řekneme, že funkce f je spojitá zprava v a, jestliže pro každéε > 0 existujeδ > 0 takové, že pro všechna x zD( f ) splňujícía ≤ x < a + δ platí| f (x) − f (a)| < ε.
Definice spojitosti, zejména její podstata coby hry, vám měla připomenout definici limity. Vlastně je skoro stejná. Jediný rozdíl v mantře "pro každé... existuje..." je v tom, že při definici limity jsme nedovolili x, aby se rovnalo a, zatímco u spojitosti je i a zahrnuto do hry. Z toho odvodíme následující fakt:
Věta.
Uvažujme funkci f. Tato funkce je spojitá v a zleva tehdy a jen tehdy, jestliže má limitu v a zleva a tato limita je rovnaf (a).
Tato funkce je spojitá v a zprava tehdy a jen tehdy, jestliže má limitu v a zprava a tato limita je rovnaf (a).
Tato funkce je spojitá v a tehdy a jen tehdy, jestliže má limitu v a a tato limita je rovnaf (a).
To ukazuje, že alternativní definice spojitosti definuje stejný pojem jako definice z naší sekce o spojitosti.
Tato věta by také měla vypadat přirozeně. Když jsme kdysi dávno nahoře začínali se spojitostí, řekli jsme si, že vlastně jde o to, jestli graf f jde do určitého bodu, jak se x přibližuje k a, a tato formulace už měla ledacos připomenout. Pokud si připomenete definici limity a znovu přečtete ten úvod nahoře, mělo by to všechno být jasné.