Hyperbolické funkce

Tyto funkce jsou překvapivě podobné goniometrickým funkcím, ačkoliv nemají vůbec nic společného s trojúhelníky. Podobnost plyne z podobnosti definic. Na konci této sekce se zmíníme o jiném důvodu, proč by si mohly být hyperbolické a goniometrické funkce blízké.

Definice.
Hyperbolický sinus a hyperbolický kosinus jsou definovány vzorci

Hyperbolický tangens a hyperbolický kotangens jsou definovány vzorci


Hyperbolický sinus. Definiční obor:

D(sinh) = ℝ.

Graf:

Funkce je spojitá na svém definičním oboru, neomezená a symetrická, jmenovitě lichá, protože platí sinh(−x) = −sinh(x).

Funkce má jeden nulový bod, jmenovitě x = 0, což je také bod inflexe. Nejsou lokální extrémy, limity v krajních bodech definičního oboru jsou

Derivace:

[sinh(x)]′ = cosh(x).

Připomeňme, že často píšeme sinhn(x) namísto správného [sinh(x)]n, podobně pro další hyperbolické funkce.


Hyperbolický kosinus. Definiční obor:

D(cosh) = ℝ.

Graf:

Funkce je spojitá na svém definičním oboru, omezená zdola a symetrická, jmenovitě sudá, protože platí cosh(−x) = cosh(x).

Nejsou nulové body, ale máme lokální minimum v x = 0, funkce je vždycky konvexní. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou

Derivace:

[cosh(x)]′ = sinh(x).


Hyperbolický tangens. Definiční obor:

D(tgh) = ℝ.

Graf:

Funkce je spojitá na svém definičním oboru, omezená a symetrická, jmenovitě lichá, protože platí tgh(−x) = −tgh(x).

Funkce má nulový bod, jmenovitě x = 0, což je také bod inflexe. Nejsou lokální extrémy, limity v krajních bodech definičního oboru jsou

Derivace:

[tgh(x)]′ = 1/cosh2(x).


Hyperbolický kotangens. Definiční obor:

D(cotgh) = ℝ − {0} = (−∞,0) ∪ (0,∞).

Graf:

Funkce je spojitá na svém definičním oboru, neomezená a symetrická, jmenovitě lichá, protože platí cotgh(−x) = −cotgh(x).

Funkce nemá nulové body ani body inflexe, nejsou lokální extrémy. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou

Derivace:

[cotgh(x)]′ = −1/sinh2(x).

Pár hyperbolických identit

Následující identity jsou velmi podobné goniometrickým, ale jsou zrádné, protože tu a tam je znaménko naopak, což může poplést neopatrného studenta.

Identity pro hyperbolický tangens a kotangens jsou také podobné.

Inverzní hyperbolické funkce (hypoerbolometrické funkce)

Zde je situace mnohem lepší než u goniometrických funkcí. Kromě hyperbolického kosinu jsou všechny ostatní funkce prosté a proto mají inverze. Abychom dostali inverzi k cosh(x), omezíme jej na interval ⟨0,∞). Inverzní funkce se jmenují argument hyperbolického sinu, značeno argsinh(x), argument hyperbolického kosinu, značeno argcosh(x), argument hyperbolického tangensu, značeno argtgh(x), a argument hyperbolického kotangensu, značeno argcotgh(x). Říká se jim také hyperbolometrické funkce. Jejich grafy jsou

Základní vlastnosti:

Teď se dostáváme k další výhodě, kterou mají hyperbolické funkce oproti goniometrickým. Máme totiž "pěkné" vzorce pro inverzní funkce:

Poznámka: Jsou dvě alternativní značení, namísto argsinh(x) se také píše arcsinh(x) či sinh−1(x). To první je asi inspirováno značením pro inverzní goniometrické funkce, to druhé je bohužel docela časé, ale silně matoucí. Důvod je, že mnozí studenti vidí silnou podobnost (přiznejme si existující) mezi sinh−1(x) a sinh2(x), takže si myslí, že sinh−1(x) je vlastně 1/sinh(x). O určitém ospravedlnění pro toto značení jsme mluvili, když jsme uváděli inverzní funkce v části Teorie - Reálné funkce. Stejně je to ale nešťastné, zvlášť když máme naprosto vyhovující "arg"-značení. Budeme se jej v Math Tutoru držet.

Poznámka o parametrických křivkách

Jedna zajímavá vlastnost goniometrických funkcí je, že poskytují pěkný popis kružnice. Kružnice o poloměru r se středem v počátku (daná rovnicí x2 + y2 = r2 v kartézských souřadnicích) je dána těmito parametrickými rovnicemi: x = r⋅cos(t), y = r⋅sin(t).

Co se stane, když nahradíme tyto funkce hyperbolickými? Rovnice x = r⋅cosh(t), y = r⋅sinh(t) popisují přesně pravou větev hyperboly x2 − y2 = r2.


Absolutní hodnota
Zpět na Teorie - Elementární funkce