Tyto funkce jsou překvapivě podobné goniometrickým funkcím, ačkoliv nemají vůbec nic společného s trojúhelníky. Podobnost plyne z podobnosti definic. Na konci této sekce se zmíníme o jiném důvodu, proč by si mohly být hyperbolické a goniometrické funkce blízké.
Definice.
Hyperbolický sinus a hyperbolický kosinus jsou definovány vzorciHyperbolický tangens a hyperbolický kotangens jsou definovány vzorci
Hyperbolický sinus. Definiční obor:
Graf:
Funkce je spojitá na svém definičním oboru, neomezená a symetrická, jmenovitě
lichá, protože platí
Funkce má jeden nulový bod, jmenovitě
Derivace:
Připomeňme, že často píšeme
Hyperbolický kosinus. Definiční obor:
Graf:
Funkce je spojitá na svém definičním oboru, omezená zdola a symetrická,
jmenovitě sudá, protože platí
Nejsou nulové body, ale máme lokální minimum v
Derivace:
Hyperbolický tangens. Definiční obor:
Graf:
Funkce je spojitá na svém definičním oboru, omezená a symetrická,
jmenovitě lichá, protože platí
Funkce má nulový bod, jmenovitě
Derivace:
Hyperbolický kotangens. Definiční obor:
Graf:
Funkce je spojitá na svém definičním oboru, neomezená a symetrická,
jmenovitě lichá, protože platí
Funkce nemá nulové body ani body inflexe, nejsou lokální extrémy. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou
Derivace:
Následující identity jsou velmi podobné goniometrickým, ale jsou zrádné, protože tu a tam je znaménko naopak, což může poplést neopatrného studenta.
Identity pro hyperbolický tangens a kotangens jsou také podobné.
Zde je situace mnohem lepší než u goniometrických funkcí. Kromě
hyperbolického kosinu jsou všechny ostatní funkce prosté a proto mají
inverze. Abychom dostali inverzi k
Základní vlastnosti:
Teď se dostáváme k další výhodě, kterou mají hyperbolické funkce oproti goniometrickým. Máme totiž "pěkné" vzorce pro inverzní funkce:
Poznámka: Jsou dvě alternativní značení, namísto
Jedna zajímavá vlastnost goniometrických funkcí je, že poskytují pěkný popis
kružnice. Kružnice o poloměru r se středem v počátku (daná rovnicí
Co se stane, když nahradíme tyto funkce hyperbolickými? Rovnice