Funkce identita a charakteristická funkce

Definice.
Funkce identita, značená Id, je definována pro reálná čísla vzorcem

Id(x) = x.

Graf:

Je to vlastně známá funkce, jedna z nejjednodušších lineárních funkcí, proč jsme ji tedy takto vypíchli? Má speciální roli, když se podíváme na funkce z pohledu algebry a pracujeme s nimi jako s algebraickými objekty. Připomeňme si koncept skládání funkcí. Jestliže se podíváme na vlastnosti skládání coby operace na množině reálných funkcí, vidíme, že má mnohé z vlastností, které známe z násobení, ale jiné chybí. Víme, že skládání není komutativní, popravdě řečeno kompozice f ○ g a g ○ f jsou si rovny jen v extrémně vzácných případech, musí se na tom pracovat, aby se přišlo s takovým příkladem. Podobně nemáme šanci na platnost distributivního zákona.

Co tedy plati? Skládání je asociativní, to je jedna věc. Další zajímavou vlastností je to - a teď se k tomu dostáváme, že má jednotku. Pod pojmem jednotka rozumíme určitý element, který při aplikaci (pomocí dotyčné operace) na libovolný prvek jej nezmění. Pro násobení je to číslo 1. Vskutku, 1⋅x = x⋅1 = x pro libovolné reálné číslo x. Pro skládání funkcí hraje roli jednotky právě funkce identity Id. Pro libovolnou funkci f a každé x totiž máme

f ○ Id: x ↦ f [Id(x)] = f [x],

což znamená, že f ○ Id = f, a

Id ○ f: x ↦ Id[f (x)] = f (x),

což znamená, že také Id ○ f = f. Mimochodem, druhá rovnost vyplývá z toho, že když je identita Id aplikovaná na jisté číslo f (x), tak udělá to, že to číslo nechá, jak bylo.

Právě jsme ukázali, že f ○ Id = Id ○ f = f pro libovolnou reálnou funkci f, takže identita opravdu funguje coby jednotka pro skládání.

Pro úplnost poznamenáme, že když máme jednotku, můžeme se podívat po inverzním prvku, a přesně jako u násobení, máme i tady pojem inverzního prvku pro funkce a skládání. Pro danou funkci f je právě inverzní funkce f−1 inverzí k f v algebraickém smyslu, protože definici inverzní funkce můžeme přepsat na f−1 ○ f = f ○ f−1 = Id. Víme, že ne každá funkce má inverzi, ale to není nic nového, protože také některá reálná čísla nemají inverzi vzhledem k násobení (jmenovitě x = 0 je ten zločinec).

Vlastně jsme teď trochu podváděli. Skládání s inverzí dává identitu, jen pokud má dotyčná funkce celou reálnou osu jako svůj definiční obor i obor hodnot. V jiných případech musíme tu rovnost poněkud pozměnit, což nás přivádí k dalšímu tématu.

Funkce identita na množině

Definice.
Nechť M je nějaká podmnožina reálných čísel. Definujeme její funkci identity IdM vzorcem

IdM(x) = x     pro x z M.

Máme tedy D(IdM) = R(IdM) = M.

Ta funkce identita, kterou jsme uvedli na začátku, je jen speciální případ této poslední definice, je to identita na celé množině reálých čísel. Naopak IdM můžeme vidět jako restrikci Id na množinu M. Teď můžeme přesně zapsat definici inverzní funkce: f−1 ○ f = IdDf ) a f ○ f−1 = IdRf )

Charakteristická funkce množiny

Definice.
Nechť M je libovolná podmnožina reálných čísel. Definujeme její charakteristickou funkci vzorcem

To podivné X je ve skutečnosti řecké písmeno "chi". Existuje i alternativní značení, charakteristická funkce množiny M se píše 1M. Má ještě jedno jméno, lidé ji také říkají indikátor množiny M. Třetí možné značení je IM, ale to je asi to nejhorší, protože lidé jsou někdy líní psát "d" a používají jen IM pro funkci identity, takže se to plete. První značení je nejrozšířenější, ale protože řecká písmena se s Internetem moc nesnášejí, budeme v Math Tutoru používat to druhé s tučnou 1.

Příklad: V obrázku ukážeme charakteristickou funkci uvedené množiny M.

Charakteristické funkce množin jsou velmi užitečné, často je používáme k vyjádření "restrikce" funkce na nějakou množinu. Proč ty uvozovky? Restrikce znamená, že odřezáváme kusy definičního oboru. Zde ale máme situaci, kdy chceme zachovat původní definiční obor, ale zajímají nás jen hodnoty dané funkce na jeho části, proto jinde funkci vynulujeme.

Přesně, nechť f je funkce definovaná na nějaké množině M a nechť N je nějaká podmnožina M. Nechť g je funkce, která má stejné hodnoty jako f na N, ale je nula všude jinde na M.

Pak g lze zapsat jako g = f1N.

Pokud totiž x leží v N, pak

[f1N](x) = f (x)⋅1N(x) = f (x)⋅1 = f (x),

zatímco pro x z M ale ne z N máme

[f1N](x) = f (x)⋅1N(x) = f (x)⋅0 = 0.

Pro další způsob, jak vyjádřit charakteristickou funkci, viz další sekce o Heavisideově funkci.


Heavisideova funkce
Zpět na Teorie - Elementární funkce