Nejprve připomeňme l'Hospitalovu větu ze sekce Derivace a limita v části Derivace - Teorie - Věta o střední hodnotě.
Věta (L'Hospitalovo pravidlo).
Nechť a je reálné číslo, ∞ nebo −∞. Nechť f,g jsou funkce definované na nějakém prstencovém okolí a. Předpokládejme, že je splněna jedna z následujících podmínek:
(1) Jak f tak g konvergují k 0 v a;
(2)|g| jde do ∞ v a.
Pak
pokud limita vpravo existuje.
Analogická věta také platí pro jednostranné limity. Všimněte si, že rovnost je "podmíněná", ony dvě limity se rovnají, pouze jestli ta pravá existuje, jinak ta rovnost nemusí být pravdivá.
Toto pravidlo je velmi důležité. Když počítáme limity zlomků, často dostaneme
neurčitý podíl, tj.
nebo
. Jaká to
náhoda, l'Hospitalovo pravidlo nám pomůže zrovna v těchto případech. Pokud se
pokoušíme určit limitu zlomku a skončíme s nulou dělenou nulou, pak je splněn
předpoklad (1) a namísto počítání dané limity počítáme limitu podílu
derivací. Pokud vyjdou dvě nekonečna, pak je zase splněn předpoklad (2) a
zase přejdeme k derivacím.
Tyto dva případy jsou tak důležité, že dokonce mnoho autorů jednoduše formuluje l'Hospitalovo pravidlo právě pro tyto dva případy, nula nad nulou a nekonečno nad nekonečnem. Většinou taková "jednoduchá" verze funguje dostatečně dobře, takže tito autoři své čtenáře zase tolik nešidí, ale jsou limity, kde je řešitel vděčný za tu obecnější verzi, například pokud máme zlomek, kde jmenovatel dává nekonečno, ale čitatel žádnou limitu nemá. To se ale nestává zas tak často.
Příklad:
Protože jsme na konci dostali odpověď, ta "podmíněná rovnost" v kroku s l'Hospitalem je ospravedlněna. V praxi všechny detaily nepíšeme, obecně přijímaný způsob indikace použití l'Hospitalova pravidla vlastně není. Zde to budeme psát takto:
Teď uvažujme tento
Příklad:
Protože limita na konci neexistuje, ta "podmíněná rovnost" nemusí být pravdivá a daná limita může vyjít jakkoliv. U tohoto příkladu vlastně pomocí pravidla "omezená dělená nekonečnem dá nulu" dostaneme
Samozřejmě, pokud nejsou splněny předpoklady věty, pak l'Hospitalovo pravidlo nefunguje. Například následující limita je evidentně 1, ale pokud omylem použijeme l'Hospitalovo pravidlo (zapomeneme ověřit, jestli je limita typu "nula nad nulou" či "něco nad nekonečnem"), dostaneme špatný výsledek.
Pro praktický pohled na použití l'Hospitalova pravidla viz neurčitý podíl v části Přehled metod.
