Limita funkce: Přehled metod

Pokud chcete nějaký text o limitě funkce sledovat zároveň ve vedlejším okně, klikněte sem pro Teorii a sem pro Řešené příklady.

Limita je jedna ze zásadních nástrojů při zkoumání funkcí. Jako u každé "dobré" otázky, nalezení odpovědi není vždy snadné a často je třeba překonávat problémy. Pro mnohé z nich máme specifické metody a triky. Jestliže chcete být dobří ve výpočtu limit, je důležité si vybudovat (cvičením) mentální "šuplíky" problémů, každý šuplík obsahující limitní příklady jednoho konkrétního typu. Když se naskytne problém, najdete příslušný šuplík a vytáhnete z něj vhodnou metodu řešení. Často se tak nedostane odpověď, jen se limitní problém změní v jiný, takže je nutno použít postupně několik triků. Existují také příklady, které se nehodí přímo do žádného šuplíku, jedinou nadějí pak je intuice a zkušenost.

Nejprve stručně shrneme, jaké odpovědi je možné dostat. Daná funkce v daném bodě může mít limitu, která je reálné číslo (vlastní limita). V takovém případě řekneme, že funkce konverguje (či je konvergentní) v tomto bodě. Jinak je tam funkce divergentní. Stejnou klasifikaci používáme pro "problém nalezení limity v bodě", čemuž pro stručnost také říkáme "limita". Řekli bychom tedy, že daná limita (příklad k vyřešení) je konvergentní (existuje vlastní limita - výsledek) nebo divergentní.
Mezi divergentními limitami (tj. příklady) jsou některé "pěknější": jdou do nekonečna nebo mínus nekonečna, neboli mají nevlastní limitu. Pokud je nějaká limita - konečná pro konvergentní limity či nekonečná - řekneme, že limita existuje, protože pořád ještě dostáváme nějakou informaci. Poslední případ je, že žádná limita neexistuje, ani konečná, ani nekonečná. V takovém případě říkáme, že limita neexistuje.

Jak najít limity?

Začneme specifikací nejdůležitější situace:

Otázka:
Nechť je funkce f definována na nějakém prstencovém okolí bodu a určitým algebraickým vzorcem. Najděte její limitu v a.

Alternativní otázky:
Nechť je funkce f definována na nějakém pravém prstencovém okolí bodu a určitým algebraickým vzorcem. Najděte její limitu v a zprava.
Nechť je funkce f definována na nějakém levém prstencovém okolí bodu a určitým algebraickým vzorcem. Najděte její limitu v a zleva.

Tyto otázky se řeší stejným způsobem, viz níže.

Než si ale ukážeme, co dělat, podíváme se krátce na jiné situace. Co když není funkce dána jedním společným vzorcem na prstencovém (jednostranném pro jednostranné limity) okolí bodu a? Rozumný případ je, že je funkce dána jedním vzorcem napravo a jiným vzorcem nalevo od a a my chceme oboustrannou limitu. Pak můžeme přejít na jednostranné limity, kde jsme přesně v situaci popsané v Otázce, takže použijeme níže popsaný algoritmus, najdeme odpovědi (s trochou štěstí) a porovnáme je. Jestliže je funkce tak divná, že není dána pěkným vzorcem dokonce ani na jednostranných okolích bodu a, pak musíme řešit problém individuálně s pomocí našeho porozumění limitám, není na to žádný algoritmus.

Teď už zpět k otázce.

Řešení:
Krok 1. "Dosaďte" bod a do daného výrazu a zkuste najít výsledek pomocí algebry limit. Mimo jiné potřebujete vědět, jak dosazovat nekonečno do elementárních funkcí. Může se stát, že budete muset pracovat s jednostrannými limitami nebo jednostrannými výsledky limit, viz Poznámka 1 níže, toto se stává nejčastěji, když narazíte na výraz 1/0 (viz příslušný šuplík níže).

Někdy pomůže před dosazením a výraz zjednodušit. To se hodí obzvláště při dosazování nekonečna do mocnin se zápornými exponenty, hodně lidí je má raději ve formě zlomku.

Co se může stát?

a) Jestliže algebra limit dala nějaký výsledek (číslo, nekonečno či mínus nekonečno, nebo že limita neex., viz Poznámka 2 níže), pak je tento výsledek také odpovědí na limitní příklad a jste hotovi. Poznamenejme, že algebra limit, obzvláště pokud jsou v ní nekonečna, není "opravdová" algebra a může být lepší nezahrnout ji do "oficiálního" řešení.
Příklad.

b) Druhá možnost je, že algebra limit nevedla k výsledku, protože se něco pokazilo. V takovém případě musíte zkusit nějaký trik neboli přejít na Krok 2.

Varování! Někdy je člověk sváděn k tomu, aby dosadil jen do "pěkných" částí výrazu a zbytek si nechal na později. To nefunguje obecně! Jediný způsob, jak dělat limity "po částech", je rozdělit je na více limit, viz tato poznámka. Pro jednu limitu buď dosazujete všude, nebo nikde.

Krok 2. Jestliže algebra limit selhala, pak tam musel být nějaký problém. Pro mnoho typů problémů máme docela spolehlivé metody, je tedy dobré znát také něco o populárnějších problémech (například o neurčitých výrazech). To "dosazení" bodu a v Kroku 1 sice selhalo, ale mělo by vám to udělat cennou službu, jmenovitě identifikovat, jakému typu problému čelíte. To vám pomůže v zařazení vašeho příkladu do příslušného "šuplíku", pak už jen aplikujete metodu v tomto šuplíku doporučenou.

Neurčité výrazy jsou převažujícím důvodem pro selhání v Kroku 1, naštěstí je pro každý z nich speciální šuplík s vhodnou metodou.
  • šuplík "1/0".
  • šuplík "neurčitý podíl" , ,
  • šuplík "neurčitý součin" ∞⋅0,
  • šuplík "neurčitý rozdíl" ∞ − ∞,
  • šuplík "neurčitá mocnina" 1, 00, 0.

Často je ale namísto takového obecného šuplíku lepší použít šuplík specializovaný na určitý výraz, který se objevuje v limitě:
  • šuplík "polynomy, sumy a podíly s mocninami v nekonečnu",
  • šuplík "polynomy ve vlastních bodech (krácení)",
  • šuplík "rozdíl odmocnin".

Pak je tu šuplík, který není konkrétně zaměřen na určitý typ výrazu či problému, ale nabízí obecnější způsob, jak se vypořádat s oscilacemi a obtížně uchopitelnými příklady:
  • šuplík "srovnání a oscilace", který typicky obsahuje věci jako limitu sin(x) v nekonečnu.

A konečně jsou tu dva šuplíky s metodami, které samy o sobě nic nevyřeší, ale někdy to řešení výrazně přiblíží tím, že danou limitu zjednoduší:
  • šuplík "pěkná vnější funkce",
  • šuplík "substituce".

Jako bonus ještě přidáme
  • šuplík "ekvivalentní infinitesimály".

Někdy vám metoda z příslušného šuplíku poskytne odpověď. Často ale jen dostanete jinou limitu k vyřešení, což znamená, že máte jít zpět na Krok 1 a začít znovu a třeba ještě, dokud nedostanete odpověď nebo to nevzdáte.

Je důležité být ve střehu ohledně možného zjednodušení. Například než použijete triky z šuplíku, měli byste se podívat, jestli opravdu potřebujete aplikovat tento trik na celý daný výraz. Někdy je problém způsoben jen částí výrazu a zbytek je "pěkný", pak je obvykle moudré rozdělit danou limitu na několik částí a na každou použít nejpohodlnější postup. Někdy je to vlastně naopak, že jste limitu rozdělit přinuceni, protože žádaný trik lze použít jen na její část. Pro podrobnější pohled na rozdělování limit a výpočet jednotlivých částí viz tato poznámka.

Podobně je tomu, když se máte vrátit na Krok 1, silně se doporučuje podívat se na to, co jste dostali po aplikování triku, a zjednodušit, co to dá.

Poznamenejme, že jsou limitní problémy, které nezapadají do postupu zde popsaného (tj. nezapadají zrovna do některého z níže popsaných šuplíků). Pak máte tím větší šanci na úspěch, čím více zkušeností a čím lepší pochopení pojmu limity máte.

Popsaný postup by měl dávat víc smyslu, pokud se podíváte na Řešené příklady - Limita a porovnáte, jak jsou řešeny, se zde popsaným obecným postupem. Najdete tam také další užitečné triky.

Začátečníci mají občas problémy se správným zápisem výpočtu a výsledku.


Poznámka 1.

Jednostranné výsledky limit jsou často potřeba, když dosazujeme do funkce. Tato informace o výsledku se obvykle dostane přímo z dané limity (když je jednostranná), ale občas také vyplyne z podstaty příkladu.

Příklad: Limita ex − 1 pro x→0+ je 0+.
Dosazením x = 0 do výrazu opravdu dostaneme 0, teď potřebujeme zjistit, jaká ta nula je. Jestliže x→0+, pak x je číslo blízké 0, které splňuje x > 0. Pak také ex > 1, proto ex − 1 > 0.

Příklad: Limita 1 + 2x − x2 pro x→2- je 1+.
Dosazením x = 2 do výrazu skutečně dostaneme 1, teď potřebujeme zjistit, jaká je. Jestliže x→2-, pak x je číslo blízké 2, které splňuje x < 2. Není ale jasné, co se stane s výrazem. Jsou dva způsoby, jak to zjistit.

Matematicky správný je tento: 1 + 2x − x2 = 1 + x⋅(2 − x). Jestliže x < 2, pak (2 − x) > 0, a x je kladné, když je blízko 2, proto x⋅(2 − x) > 0 a 1 + x⋅(2 − x) > 1, což dokazuje naše tvrzení.

Tato metoda byla správná, ale specifická pro tento příklad. Obecně se dá vždycky podívat na monotonii daného výrazu okolo limitního bodu, ale v praxi se málokomu chce takto zabíjet čas. Většinou používáme metodu jinou, která je mnohem pohodlnější, ale má drobnou nevýhodu v tom, že není matematicky správná. Vypadá takto:

Jestliže x→2-, pak je x něco jako 2 mínus něco opravdu malinkého, řekněme x = 1.9999. Když tohle dosadíme do výrazu 1 + 2x − x2, dostaneme 0.99980001 < 1, což naznačuje, že se k limitnímu výsledku 1 blížíme zdola. Tohle samozřejmě nic nedokazuje, pro divoké funkce by tato metoda selhala. Nicméně ve většině příkladů vystupují "rozumné" funkce, takže když vezmeme v úvahu, jak snadná metoda to je, nepřekvapí, že ji využívá většina lidí (včetně mě), když potkají trošku komplikovanější problém s "jednostranností".

Příklad: Limita 1 + cos(x) pro x→0 je 2-.
Dosazením x = 0 do výrazu opravdu dostaneme 2. Když je navíc x číslo blízké k 0 (ať už na kterékoliv straně), pak cos(x) < 1 (připomeňme, že "blízko 0" nezahrnuje samotnou 0, takže ta ostrá nerovnost je namístě). Proto 1 + cos(x) < 2, což dokazuje naše tvrzení.

Příklad: Limita 1 + sin(x) pro x→0 je prostě 1.
Když dosadíme x = 0 do výrazu, tak opravdu dostaneme 1. Nemůžeme ale říct, že by to bylo 1+ či 1-. Jak x→0, tak je někdy kladné a někdy záporné (je to oboustranná limita), tudíž i sin(x) je někdy kladný a někdy záporný. Jakkoliv malé prstencové okolí bodu 0 uvažujeme, funkce 1 + sin(x) je na něm jak menší, tak i větší než 1, takže není možný žádný jednostranný závěr.

Další pěkný příklad s jednostranností je v této poznámce.

Poznámka 2.

Umíme docela dobře rozpoznávat případy, kdy limita existuje (algebra limit) a kdy zlobí (neurčité výrazy). Méně probíraná, ale stejně důležitá je schopnost poznat, které limity neexistují. To se většinou v kursech kalkulu ignoruje, protože se od nás konec konců očekává, že ve škole budeme umět příklady vyřešit.

Přesto zde ale v zájmu úplnosti ztratíme slovíčko o limitách, které neexistují. Dobrým začátkem je pamatovat si některé "slavné" limity, které neexistují. Nejčastější příklady jsou limity sinu a kosinu v (mínus) nekonečnu a podíl 1/0, kde ta nula není jednostranná, za zmínku stojí také kotangens v 0 a jejích posunech a tangens v π/2 a jeho posunech.

Pak také pomůže vědět, jak se takové problematické výrazy snášejí s jinými výrazy. Možností je mnoho, snažili jsme se sebrat ty zajímavější při našem pokusu o algebru N (zde N coby neexistující), zahrnuli jsme tam také neurčité výrazy.

Toto téma bývá tak ignorováno, že náš seznam je pravděpodobně jediný, který kdy uvidíte, což naznačuje, že to možná není až tak důležité.