Šuplík "polynomy, sumy a podíly s mocninami v nekonečnu"

Základní typ výrazu, který zde probereme, je lineární kombinace mocnin xa s a > 0, exponenciál ax s a > 1, obecných mocnin xx a mocnin logaritmu [ln(x)]a s a > 0. Nejjednodušší takový výraz je polynom, typický příklad je třeba

Jak najít limitu takových výrazů v nekonečnu:

Krok 1. Identifikujeme vedoucí (dominantní) člen daného výrazu. Nejprve určíme dominantní kategorii (ony čtyři výše jmenované druhy) pomocí škály mocnin:

Každý typ převáží nad typy vypsanými pod ním:
(1)   mocnina xx;
(2)   exponenciála ax, a > 1;
(3)   mocniny xa, a > 0;
(4)   logaritmy [ln(n)]a, a > 0.

Po určení dominantní kategorie se porovnají všechny členy daného výrazu, které patří do této kategorie (pokud je jich tedy více), a z nich se vybere vedoucí člen. Zde je pravidlo jednoduché. V každé z kategoríí (2), (3), (4) je dominance dána hodnotou konstanty a, větší znamená dominanci.

Tímto se určí dominantní člen celého výrazu (může jich být více, viz níže).

V praxi lidé dávají přednost lidovějšímu vyjádření této hierarchie, používají se fráze jako "mocniny přebijí logaritmy" a "exponenciály přebijí mocniny" atd. Pro detaily viz Intuitivní výpočet v části Teorie - Limita. Při určování dominance se ignorují konstanty, kterými mohou být některé mocniny, exponeciály atd. vynásobeny.

Pokud chceme jen odhadnout limitu daného výrazu v nekonečnu a nestaráme se o pořádný matematický zápis, pak se prostě podíváme na limitu vedoucího členu, vezmeme v úvahu konstanty, kterými může být vynásoben ve výrazu, a máme odpověď. Pokud ji chceme potvrdit výpočtem, jdeme na další krok.

Krok 2. Pokud existuje jediný vedoucí (dominantní) člen, vytkneme jej a pak najdeme limitu vzniklého výrazu. Pokud existuje více dominantních členů, pak je lze dát dohromady, pouze pokud v důsledku tento vedoucí člen nezmizí. Procedura s vytknutím pak stále funguje.

Pokud existuje více dominantních členů a jejich spojením by tento typ zcela zmizel, pak je nutno pracovat s výrazem jinak. Obvykle se snažíme zkrátit dominantní člen algebraicky. Nejobvyklejší důvod, proč nelze krátit vedoucí člen přímo, bývá přítomnost odmocnin. V takovém případě zkoušíme šuplík "rozdíl odmocnin".

Někdy je třeba algebraicky výraz zjednodušit, abychom mohli správně identifikovat typy výrazů.

Příklad:
Uvažujme výraz výše. Poslední člen nezapadá do typů zde probíraných, ale můžeme to změnit:

22x = (22)x = 4x.

Teď vidíme, že výraz zahrnuje mocniny (x13 a x1/2), exponenciály (3x a 4x) a logaritmy (všimněte si, že jsme ignorovali multiplikativní konstaty). Dominantní kategorie jsou exponenciály. Protože je máme dvě, musíme rozhodnout, která z nich je dominantní. Větší základ je 4, takže vedoucí člen celého výrazu je 4x. Pro velké hodnoty x se tedy daný výraz chová jako −4x a tudíž má v nekonečnu limitu mínus nekonečno.

Fakt, že se daný výraz chová jako jeho vedoucí člen, se někdy zapisuje takto:

3x13 − x1/2 + 7⋅3x − [ln(x)]13 − 22x ∼ −4x.

Řekneme, že 4x je typ celého výrazu. Matematicky se to potvrdí vytknutím 4x, viz zde.

Teď se podíváme na obecnější výrazy, které lze takto vyhodnocovat.

Odmocniny/mocniny

Některé části výrazů popsaných výše mohou být pod odmocninou nebo v mocnině. Příklad:

Pak následujeme tuto proceduru:

Krok 1. Nejprve určíme typ každé jednotlivé odmocniny/mocniny. Pro konkrétní odmocninu/mocninu nejprve určíme typ výrazu uvnitř a pak na něj aplikujeme příslušnou odmocninu/mocninu.

Krok 2. Určíme dominantní člen(y) daného výrazu porovnáním jednotlivých typů, přičemž odmocniny/mocniny jsou teď reprezentovány svými typy. Pak následuje obvyklý postup. Při výpočtu pomocí vytknutí je obvykle snažší začít vytknutím vedoucích členů z jednotlivých odmocnin/mocnin.

Příklad: Ve výrazu výše máme jednu odmocninu a jednu složenou mocninu. Výraz pod odmocninou má dominantní člen x6, takže po aplikování druhé odmocniny vidíme, že celá odmocnina má typ x3.

Dominantní výraz uvnitř složené mocniny je [ln(x)]2, takže mocnina jako celek má typ [ln(x)]4.

Teď se podíváme na celý výraz, ale představíme si, že místo odmocniny tam je x3 a místo složené mocniny tam je [ln(x)]4. Ve výrazu jsou mocniny a logaritmy, takže logaritmy budou přebity mocninami a vedoucí člen bude vybrán mezi nimi. Největší je x4, což je vedoucí člen (a typ) celého výrazu. Naše úvahy můžeme vyjádřit takto:

Teď ukážeme korektní výpočet, neboli najdeme limitu vytknutím vedoucího členu:

Jak jsme věděli, že ony zlomky "nekonečno nad nekonečnem" šly k nule? Pomocí l'Hospitalova pravidla. Pro druhý z nich lze také použít malý trik a ten první.

Podíly

Často potkáváme zlomky, kde čitatel a jmenovatel jsou výše probraného typu. Pak se postupuje následovně:

Krok 1. Najdeme vedoucí členy čitatele a jmenovatele jak je popsáno výše.

Krok 2. Vytkneme vedoucí členy, pak je zkrátíme (pokud je to možné) a najdeme limitu jejich podílu.

Někdy je možné použít alternativu, zejména pokud jsou ve zlomku polynomy:

Krok 2'. Jestliže jsou dominanty čitatele a jmenovatele stejné, vykrátíme zlomek tímto členem. Lidé používají krácení i v jiných situacích, často se cituje pravidlo "vykraťte menší dominantu", ale má to "malý" zádrhel: Často to nefunguje. Pokud se chcete dozvědět více o krácení ve zlomku, podívejte se na tuto poznámečku.

Protože zlomky v nekonečnu se nejčastěji objevují s polynomy a příbuznými členy, zkusíme jeden takový příklad.

Příklad: Najděte (pokud existuje)

Začneme tou odmocninou v čitateli. Výraz uvnitř má dominantu x3, takže celá odmocnina má typ x3/2. Jelikož 3/2 < 2, vedoucí člen čitatele je x2, což je také vedoucí člen jmenovatele. Protože jsou stejné, místo vytýkání bude snažší vykrátit tuto mocninu. Asi ale bude lepší nejprve vytknout vedoucí člen zpod odmocniny.

V části Řešené příklady - Limity jou tyto metody použity v tomto příkladě, tomto příkladě a tomto příkladě. Tento přístup je také použit v druhém příkladě v šuplíku "rozdíl odmocnin" a v jednom příkladě v šuplíku "neurčitý podíl".


Další šuplík: polynomy ve vlastních bodech
Zpět na Přehled metod - Limita