Šuplík "neurčitý rozdíl"

Zde se podíváme na následující problém: Chceme najít limitu a po dosazení dostaneme neurčitý výraz ∞ − ∞.

Existuje standardní postup, ale ten vede k hnusným věcem, tak si jej necháme jako poslední útočiště a nejprve zkusíme probrat nějaké alternativy:

Trik 1. Pokud ony dvě nekonečna zahrnují mocniny, exponenciály, logaritmy, faktoriály, odmocniny a kombinace těchto typů a pokud jsou vedoucí členy těch nekonečen různé, pak můžeme najít limitu v nekonečnu vytknutím dominantního členu, viz šuplík "polynomy, sumy a podíly s mocninami v nekonečnu".

Trik 2. Jestliže jsou ony dvě nekonečna odmocniny, můžeme často problém odstranit tak, že se jich zbavíme a něco pokrátíme, viz šuplík "rozdíl odmocnin".

Trik 3. Někdy ony dvě "nekonečna" umožní přirozený algebraický převod na jeden zlomek, typicky nějakým přechodem na společný jmenovatel. Takové zlomky jsou pak často neurčitého typu a můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo.

Jednoduchý Příklad:

Trik 4. Někdy se dá vytknout nějaký faktor a dostaneme součin. Pokud máme štěstí, tento součin lze hned vyhodnotit, často ale dostaneme součin neurčitého typu a ten vyřešíme příslušným postupem, viz šuplík "neurčitý součin".

Obecně můžeme tento postup vyjádřit takto: A − B = A⋅(1 − B/A). Jestliže jde podíl B/A k 1, dostaneme neurčitý typ ∞⋅0, jinak hned dostaneme odpověď.

Příklad: Výraz x³ − x² je v nekonečnu typu ∞ − ∞. Zkusíme vytknout první člen a dostaneme

x³ − x² = x³(1 − 1/x).

Když zkusíme dosadit nekonečno, dostaneme

∞³⋅(1 − 1/∞) = ∞⋅(1 − 0) = ∞.

Vlastně jsme zde udělali přesně vytýkání z Triku 1, protože x³ je v nekonečnu dominantní mocnina.

Trik 5. Rozdíl se dá vždy převést na podíl následovně:

Jaký je typ tohoto nového výrazu?

To je neurčitý podíl. Nicméně jak vidíte, je výsledný výraz docela komplikovaný, takže výpočty bývají dlouhé a je lepší vždy nejprve vyzkoušet některý z předchozích triků a nechat si tento jen jako nouzovku. Zkusíme tento trik aplikovat na předchozí příklad.

Jak vidíte, obecný trik nepomohl.

V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě a tomto příkladě.

Další šuplík: neurčitá mocnina
Zpět na Přehled metod - Limita