Šuplík "substituce"

Substituce zřídka sama vyřeší problém, ale používá se k jejich zjednodušení a k přesunu potíží z jednoho místa na jiné. Základní myšlenka je tato: Máme výraz, který je komplikovanější, než bychom rádi, a který by vypadal mnohem lépe, kdybychom vzali jeho určitou část a označili ji nějakým písmenkem - novou proměnnou.

Začneme s velice jednoduchým příkladem: Najděte

Protože se výraz 3x² objevuje vždy, když máme x, můžeme dát tomuto výrazu nové jméno, řekněme y. Dostaneme novou limitu:

Ačkoliv to nějak zásadně nepomohlo, protože problém zůstal v podstatě stejný (takže i metody jeho řešení budou stejné, jako u toho původního), tato nová limita vypadá mnohem lépe a výpočty budou nejspíše snadnější.

Všimněte si, že x zcela zmizelo z příkladu. To je jedno ze základních pravidel substituce. Týká se to i místa pod symbolem "lim", kde se také změní limitní bod. Nový limitní bod se dostal z původního a = 2 pomocí vzorce y = 3x². To je druhé základní pravidlo: Jakmile se rozhodneme, kterým vzorcem budeme převádět, všechny ostatní změny se musí řídit pouze tímto vzorcem a vzorci z něj odvozenými.

Teď to zkusíme shrnout.

Substituce:
Krok 1. Rozhodneme, který výraz g(x) by měl být nahrazen, stanovíme základní substituční rovnici y = g(x).
Krok 2. Pomocí základní substituční rovnice "změníme proměnnou", tj. nahradíme všechny výskyty písmene x v limitě příslušnými výrazy s y. Ve výrazu v limitě používáme základní substituční rovnici a rovnosti z ní odvozené. Pod symbolem "lim" prostě nahradíme x symbolem y a pak změníme limitní bod, opět pomocí základní substituční rovnosti.

Značení:

Nová limita je obvykle stejného typu jako ta původní, takže substituce zřídkakdy rovnou dá odpověď, ale může pomoci s jejím nalezením. To se týká hlavně l'Hospitalova pravidla, to vyžaduje derivování a derivovat jednodušší výrazy je obvykle výrazně snažší. Pěkná ukázka je v tomto příkladě v části Řešené příklady. Někdy je toto zjednodušení tak zásadní, že použití substituce rozhodne, jestli problém vyřešíme nebo ne, viz tento příklad v části Řešené příklady.

Někdy není substituce zásadní, ale prostě jen příjemná. Já mám rád tento trik. Když vyhodnocujeme limitu výrazu s mocninami a podobnými členy v nekonečnu, můžeme použít intuitivní výpočet. Ten můžeme použít i v mínus nekonečnu, ale tam je to drobet zrádné.

Příklad:

Je snadné zapomenout, že druhá odmocnina z x² je |x|; pokud místo toho dáte x, dostanete chybnou odpověď 1. Když si nejsem jist, co se okolo mínus nekonečna děje, tak substitucí změním limitní bod na plus nekonečno.

Pro další informace viz obecná poznámka o substituci.

Další šuplík: polynomy v nekonečnu
Zpět na Přehled metod - Limita