Šuplík "1/0"

Obecněji zde máme typ L/0, kde L není nula (nula dělená nulou je speciální typ), ale L může být nekonečno. Protože znaménko můžeme vždy vytknout, můžeme předpokládat, že L > 0. A protože také vždy můžeme napsat L/0 = L⋅(1/0), neovlivní hodnota L výsledek, takže stačí vědět, co si počít s 1/0.

Předpokládejme, že chceme najít limitu výrazu g/h v nějakém a a víme, že g jde k 1 zatímco h jde k 0 v a.

Standardní postup: Zkusíme najít nějaké prstencové okolí bodu a tak, aby buď h > 0 na tomto okolí (pak je h typu 0+ a my si pamatujeme, že 1/0+ = ∞); nebo aby h < 0 na tomto okolí (pak je h typu 0- a pamatujeme si, že 1/0- = −∞).

Pokud takové okolí nejsme schopni najít a h nabývá obou znamének libovolně blízko k a, pak tato konkrétní 1/0 vede na limitu, která neexistuje. Často pak dostáváme informaci o znaménkách h tak, že uvažujeme jednostranné limity.

Příklad: Najděte limitu funkce f (x) = 1/(x − 3)2 v x = 3.

Řešení: Když dosadíme limitní bod do f, vidíme, že čelíme typu 1/0. Jaké je znaménko jmenovatele pro x blízké 3? Pro x ≠ 3 je vždy (x − 3)2 > 0, takže v našem případě máme 1/0+ a odpověď je ∞.

Příklad: Najděte limitu funkce f (x) = 1/(ln(x) − 1) v x = e.

Řešení: Když dosadíme limitní bod do f, vidíme, že čelíme typu 1/0. Jaké je znaménko jmenovatele pro x blízké e? Zkušenost nám říká, že to záleží na tom, na jaké straně je x. Jestliže x > e, pak ln(x) > 1, tedy (ln(x) − 1) > 0. To ukazuje, že jmenovatel je kladný na nějakém pravém prstencovém okolí e, takže pokud uvažujeme limitu v e zprava, odpověď zní 1/0+ = ∞.

Na druhou stranu jestliže x < e, pak ln(x) < 1, tedy (ln(x) − 1) < 0. To ukazuje, že jmenovatel je záporný na nějakém levém prstencovém okolí e, takže pokud uvažujeme limitu v e zleva, bude odpověď 1/0- = −∞.

Protože se limita zprava daného výrazu v e liší od jeho limity v e zleva, máme závěr, že daná limita neexistuje.

Tento typ úvahy se používá často, pro další detaily viz sekce Základní vlastnosti v části Teorie - Limita, zajímavý je tento příklad v části Řešené příklady - Limita.

Další šuplík: neurčitý podíl
Zpět na Přehled metod - Limita