Chceme dokázat, že f (x) = 2x − 1 jde do nekonečna pro x jdoucí do nekonečna. Musíme proto ukázat, že můžeme vyhrát hru z definice. Použijeme tu obecnou s okolími.

Předpokládejme, že je nám dáno kladné ε > 0. Potřebujeme najít δ > 0 tak, aby když x∈U_δ(∞), pak také f (x)∈U_ε(∞).

Začneme tím, že to přeložíme do nerovností. Máme zajistit, aby f (x) > 1/ε, a děláme to omezením x na okolí nekonečna dané nerovností x > 1/δ. Začneme prozkoumáním žádané nerovnosti.

f (x) > 1/ε
2x − 1 > 1/ε
2x > 1/ε + 1
x > (1/ε + 1)/2.

Všimněte si, že všechny operace byly evivalentní, takže i první a poslední řádek jsou ekvivalentní. Teď si to zkusíme promyslet. Chceme, aby platil první řádek, a co dělat umíme je udělat x jak velké chceme správnou volbou δ. Teď se zdá jasné, co máme dělat: Zvolíme δ = 2/(1/ε + 1).

Teď ověříme, že to, co jsme udělali, naplňuje požadavek definice. Někdo nám dal libovolné ε > 0 (to "libovolné" je zde klíčové, udělali jsme to pro všechny epsilony, ne jen jedno pěkné). Rozhodli jsme se zvolit δ = 2/(1/ε + 1). Je to to pravé delta? Ověříme to. Každé x, které splňuje x∈U_δ(∞) pak podle definice tohoto okolí splňuje x > 1/δ = (1/ε + 1)/2. Proto x také splňuje f (x) = 2x − 1 > 1/ε, což znamená, že f (x)∈U_ε(∞), přesně jak jsme potřebovali, vyhráli jsme hru.

Důkaz je hotov.