Jedním z oblíbených triků je rozdělit danou limitu na několik částí a spočítat každou z nich zvlášť. To je obzvláště užitečné, pokud máme limitu s "pěknou" částí a obtížnější částí, pak rádi počítáme tu pěknou část rovnou, třeba takto:
Tento problém by se měl řešit l'Hospitalovým pravidlem a to je rozhodně jednodušší v té zjednodušené situaci.
Teď se podívejte na tento příklad:
Zde může být lákavé zkusit podobný zjednodušující trik. Například ta část
To bylo rozhodně snažší, ale evidentně špatně. Proč bylo v prvním příkladě "částečné dosazení" dobře, zatímco ve druhém ne?
Ve skutečnosti není nikdy dobře dosadit jen do části výrazu v limitě. Pokud chceme počítat jen část, musíme se pokusit rozdělit výraz na několik individuálních limit pomocí vět o limitě a operacích. V prvním příkladě bychom to udělali takto:
Teď už v první limitě můžeme dosadit, protože tam dosazujeme do celého výrazu
v oné dotyčné limitě. Co se stane ve druhém příkladě? Zkusíme totéž, musíme
rozdělit limitu na spoustu menších tak, aby jedna z nich obsahovala pouze
Zdá se, že to funguje, kde je tedy rozdíl? V tom, co přijde hned poté.
Připomeňme, že rovnosti ve větách o limitě a operacích jsou "podmíněné";
jinými slovy, my nevíme, zda je možné limitu takto rozdělit, dokud
nedokončíme všechny výpočty a dává to smysl. Co víme o prvním příkladě? Tam
jsme skončili s polovinou jisté limity. Ať už tato druhá limita dopadne
jakkoliv, když to vynásobíme půlkou, vždy dostaneme něco rozumného. Jinými
slovy, není žádný neurčitý součin, ve kterém by vystupovala
Ve druhém příkladě je situace dost rozdílná, protože nemůžeme zaručit, že nevznikne neurčitý výraz. A on tam dokonce bude:
Tento rozdíl je klíčový. Pokud chceme spočítat jen část daného výrazu v limitě, musíme tu část nejprve izolovat do její vlastní limity. Pak spočítáme zbytek a dáváme pozor na neurčité výrazy. Někdy rovnou vidíme, že žádný neurčitý výraz nevznikne. Nejtypičtější případy jsou tyto (předpokládejme, že f má v a vlastní limitu A):
Proč tomu tak je? Jediný neurčitý výraz v součtu/rozdílu je rozdíl nekonečen, což se zde nemůže stát, protože víme, že A je vlastní. Co se týče součinu, neurčitý výraz je nula krát nekonečno. Můžeme tedy s jistotou rozdělit, jestliže víme, že se toto nemůže stát, tj. pokud A není nekonečno ani nula.
Tuto poznámku zakončíme ještě jedním příkladem. Připomeňme, že pro libovolné reálné číslo c máme
Bylo by tedy chybou udělat "částečné dosazení" takto:
Kde je ten háček?
a