Příklad: Najděte derivaci funkce

Řešení: Máme funkci definovanou po částech. Začneme tím, že si uvědomíme, že na vnitřcích intervalů z definice můžeme derivaci najít derivováním (pomocí obvyklých pravidel) příslušných výrazů z definice.

Proto pro x < −π máme f ′ = [cos(x)]′ = −sin(x), podobně pracujeme na ostatních intervalech. Na čtvrtém intervalu použijeme několikrát řetízkové pravidlo poté, co jsme si ten výraz přepsali to tvaru mocniny:

Dostaneme

Teď se potřebujeme podívat, co se děje ve vlastních krajních bodech intervalů. Nejprve se podíváme na spojitost. Proč? Jestliže víme, že funkce někde není spojitá, pak tam automaticky ani nemůže být diferencovatelná a jsme hotovi. Na druhou stranu, pokud je funkce v nějakém bodě spojitá, pak máme splněn jeden předpoklad z věty, která nám umožňuje hledat jednostranné derivace pomocí limity derivací (viz sekce Teorie - Věta o střední hodnotě - Derivace a limita). Naštěstí to nemusíme tady řešit, protože spojitost této funkce jsme již zkoumali v části Funkce - Přehled metod - Základní vlastnosti - Spojitost.

Co víme o x = −π? Funkce tam není spojitá, tudíž tam ani není derivace.

V bodě x = 0 je funkce spojitá, tak se tam podíváme na jednostranné derivace pomocí výše zmíněné věty.

Protože jednostranné derivace souhlasí, máme f ′(0) = 1.

Také v bodě x = 1 je funkce spojitá, znovu se tam tedy podíváme pomocí té věty na jednostranné derivace.

Protože se jednostranné derivace neshodují, nemáme derivaci v 1.

V bodě x = 2 funkce není spojitá, tudíž ani diferencovatelná.

Výsledek můžeme vyjádřit tak, že bod 0 zahrneme do příslušných variant.

Mimochodem, v sekci Funkce - Přehled metod - Základní vlastnosti - Spojitost je i obrázek této funkce, který vám může pomoci si nějak představit věci, které jsme tu spočítali.

Zpět na Řešené příklady - Derivace