Derivace a monotonie

Jedna z hlavních aplikací Věty o střední hodnotě je dostat informaci o monotonii funkce z její derivace. Určité věci dokonce plynou přímo z definice derivace, jmenovitě informace o lokálních pojmech (včetně lokálních extrémů). Tím tedy začneme, později se podíváme na globální věci.

Lokální monotonie a extrémy

Věta (derivace a lokální monotonie).
Nechť a je bod z definičního oboru funkce f, předpokládejme, že f tam má derivaci.
Jestliže je f rostoucí či neklesající v a, pak derivace v a splňuje f ′(a) ≥ 0.
Jestliže je f klesající či nerostoucí v a, pak derivace v a splňuje f ′(a) ≤ 0.

Jestliže derivace v a splňuje f ′(a) > 0, pak je f rostoucí v a.
Jestliže derivace v a splňuje f ′(a) < 0, pak je f klesající v a.

Asi vás napadlo, že první dvě tvrzení jsou zbytečně složitá. Protože rostoucí je automaticky neklesající, stačilo dát v prvním tvrzení "neklesající" a v druhém "nerostoucí", automaticky by to pak platilo i pro striktní monotonii. Tak, jak jsme to napsali, to ale špatně není, jen to vypadá nešikovně, a měli jsme pro to dobrý důvod. Chtěli jsme tím naznačit, že ta tvrzení jsou to nejlepší, co máme. Mohlo by vás třeba napadnout, že když "neklesající" dává nezápornou derivaci, nemohlo by "rostoucí" dát rovnou f ′(a) > 0? Odpověď je záporná, tohle obecně neplatí. Jednoduchý protipříklad na takové tvrzení: Funkce f (x) = x³ je rostoucí v 0 (viz např. Mocniny v části Funkce - Teorie - Elementární funkce), ale f ′(0) = 0. Je jasné, že symetrické tvrzení "klesající f tudíž záporné f ′" také obecně neplatí.

Ve druhé části věty je jedno možné místo, kde by se dalo tvrzení změnit. Je možné tvrdit, že jestliže f ′(a) ≥ 0, pak je f neklesající v a? Zase to možné není, například f (x) = −x³ splňuje f ′(0) ≥ 0 neboť f ′(0) = 0, ale funkce je v 0 klesající.

Analogická věta spojuje jednostrannou monotonii a jednostranné derivace.

Dalším lokálním pojmem jsou lokální extrémy.

Věta (derivace a lokální extrémy).
Nechť a je bod definičního oboru funkce f, předpokládejme, že f tam má derivaci. Jestliže má f v a lokální extrém, pak derivace v a splňuje f ′(a) = 0.

Předpokládejme, že f má také druhou derivaci v a.
Jestliže f ′(a) = 0 a f ′′(a) < 0, pak f má lokální maximum v a.
Jestliže f ′(a) = 0 a f ′′(a) > 0, pak f má lokální minimum v a.

Všimněte si, že první tvrzení je implikace, nikoliv ekvivalence. Proto fakt, že f ′(a) = 0, ještě neznamená, že v tom bodě máme lokální extrém. Jednoduchý protipříklad je zase funkce f (x) = x³. Pro další detaily viz Monotonie a lokální extrémy v části Teorie - Průběh funkce.

Druhé tvrzení (klasifikace extrémů) je také jen implikace. Je možné mít v a lokální extrém a zároveň f ′′(a) = 0. Existuje ale pokročilejší verze této věty, která tento problém odstraní.

Věta (klasifikace lokálních extrémů).
Nechť a je bod z definičního oboru funkce f, předpokládejme, že f tam má všechny derivace a že f ′(a) = 0. Nechť n je to nejmenší přirozené číslo, pro které f ⁽ⁿ⁾(a) není nula.
Jestliže je n liché, pak f má inflexní bod v a.
Jestliže je n sudé a f ⁽ⁿ⁾(a) < 0, pak má f v a lokální maximum.
Jestliže je n sudé a f ⁽ⁿ⁾(a) > 0, pak má f v a lokální minimum.

To je bezesporu pěkné, ale pořád to ještě neřeší celý problém, protože je tu háček: Co když není v a žádná derivace? To je důvod, proč klasifikaci obvykle děláme nikoli pomocí derivace, ale z intervalů monotonie (viz Monotonie a lokální extrémy v části Teorie - Průběh funkce).

Monotonii jsme sice definovali pro obecné množiny, ale zde se omezíme na monotonii na intervalech. Důvod je jednoduchý, následující věty jsou (s několika výjimkami) založeny na Větě o střední hodnotě, kde je souvislost množiny zásadní. Druhý důvod je, že monotonii stejně zkoumáme na intervalech.

Věta (derivace a globální monotonie).
Nechť f je funkce spojitá na intervalu I a diferencovatelná na jeho vnitřku I ^o.
Jestliže f ′ > 0 na I ^o, pak je f rostoucí na I.
Jestliže f ′ ≥ 0 na I ^o, pak je f neklesající na I.
Jestliže f ′ < 0 na I ^o, pak je f klesající na I.
Jestliže f ′ ≤ 0 na I ^o, pak je f nerostoucí na I.
Jestliže f ′ = 0 na I ^o, pak je f konstantní na I.

Jestliže je f neklesající I, pak f ′ ≥ 0 na I ^o.
Jestliže f nerostoucí na I, pak f ′ ≤ 0 na I ^o.
Jestliže je f konstantní na I, pak f ′ = 0 na I ^o.

Stejně jako u lokální monotonie, i zde jsme řekli vše, co bylo možné obecně. Jinými slovy, není například možné tvrdit, že jestliže je f rostoucí na intervalu I, pak by f ′ mělo být kladné všude na I ^o. A zase je f (x) = x³ nejlepším protipříkladem, například na intervalu (−1,1).

Proč je souvislost tak zásadní? Uvažujme následující příklad:

Tato funkce rozhodně není konstantní na množině M, ale její derivace je rovna 0 všude na M. Podobné příklady ukážou, že žádné z tvrzení z první části věty (kde odvozujeme monotonii z derivace) nefungují obecně pro nesouvislé množiny. Důvod je, že jsou založeny na Větě o střední hodnotě, která nefunguje pro nesouvislé množiny (viz sekce o Větě o střední hodnotě).

Naopak druhá polovina věty, kde se dozvídáme něco o derivaci pomocí monotonie, funguje pro obecné množiny, protože tato tvrzení jdou dokázat přímo z definice derivace.

Pro praktické použití těchto vět viz Monotonie a lokální extremy v části Teorie - Průběh funkce.

Tuto sekci uzavřeme důsledkem, který je docela užitečný:

Někdy potřebujeme prostotu jen na nějakém okolí daného bodu a. Pak se dá předchozí věta spojit s vlastnostmi spojitosti (jmenovitě separace od nuly, viz Spojitost v části Funkce - Teorie - Reálné funkce) a dostaneme následující tvrzení.

Důsledek.
Nechť f je funkce definovaná na nějakém okolí bodu a. Jestliže f ′(a) ≠ 0 a f ′ je spojitá v a, pak je f monotonní a invertibilní na nějakém okolí a.

Derivace a konvexita
Zpět na Teorie - Věta o střední hodnotě