Monotonie a lokální extrémy

V této sekci budeme předpokládat, že zkoumáme "pěknou" funkci ve smyslu, že se dá její definiční obor rozdělit na podintervaly tak, aby na každém z nich byla funkce striktně monotonní a diferencovatelná. Samozřejmě ne každá funkce má tyto vlastnosti, například Dirichletova funkce (v části Funkce - Teorie - Elementární funkce) nemá ve svém definičním oboru jediný interval, na kterém by byla monotonní. Naštěstí funkce, které potkáme, téměř vždy padnou do kategorie "pěkných".

Jádrem této sekce je určení intervalů striktní monotonie. Hlavním nástrojem jsou věty ze sekce Derivace a monotonie v části Teorie - Věta o střední hodnotě. Z těch můžeme odvodit následující:

Fakt.
Nechť f je funkce. Předpokládejme, že pro nějaké a < b < c je tato funkce rostoucí na (a,b) a klesající na (b,c), nebo klesající na (a,b) a rostoucí na (b,c). Pak buď f ′(b) = 0 nebo f nemá derivaci v b.

To inspiruje následující definici.

Definice.
Nechť je funkce f definovaná na nějakém okolí bodu c. Řekneme, že c je kritický bod, jestliže f ′(c) = 0 nebo f ′(c) neexistuje.

Někteří autoři jim říkají stacionární body. Ten Fakt výše je implikace, takže ne každý kritický bod odděluje intervaly odlišné monotonie, ale kritické body jsou přirozenými kandidáty.

První krok při zkoumání monotonie funkce f : Začneme intervaly, ze kterých se skládá definiční obor f. Pak najdeme všechny kritické body. Tyto dále rozdělí intervaly definičního oboru na podintervaly, na každém z nich je funkce striktně monotonní.

Protože ten Fakt je jen implikace, tak se může stát, že definiční obor rozdělíme v kritickém bodě, kde se ve skutečnosti monotonie nemění. Budeme proto muset do dalšího kroku také zahrnout nějaký způsob rozpoznávání "falešných" dělících bodů a případně intervaly zase spojit. Z praktického pohledu to znamená, že se nemusíme tolik bát vzít nějaké dělící body navíc. Hlavně se to týká druhé podmínky pro kritický bod: Nemusíme přesně zjišťovat, kde není derivace, ušetříme čas a prostě vezmeme všechny body, kde to s derivací vypadá podezřele (například kde se stýkají dva různé vzorce u funkcí definovaných rozpisem).

Ke zjištění, jaký typ monotonie na výsledných intervalech máme, použijeme tuto větu:

Věta.
Nechť f je funkce spojitá na intervalu I a diferencovatelná na jeho vnitřku I o.
Jestliže f ′ > 0 na I o, pak je f rostoucí na I.
Jestliže f ′ < 0 na I o, pak je f klesající na I.

Druhý krok při zkoumání monotonie funkce f : Pro každý interval z prvního kroku zjistíme, jaké znaménko má derivace uvnitř tohoto intervalu. Protože toto znaménko musí být na celém takovém intervalu stejné, nejjednodušší způsob určení znamének je vybrat nějaký bod z intervalu a dosadit jej do f ′. Znaménka pak určí typ monotonie. Pro příklad viz níže.

Otázka: Ne každý kritický bod opravdu odděluje intervaly různé monotonie. Co se stane, když ve výše popsané proceduře použijeme takový "falešný" dělící bod?
Odpověď: Nic co by nešlo spravit, prostě jsme jen rozdělili na dva interval, který by měl zůstat pohromadě. Jinými slovy, po skončení druhého kroku bychom se měli podívat na vzniklou situaci, zda někde nejsou sousedící intervaly stejné monotonie, a zeptat se, zda je nejde spojit. Někdy je to snadné, vždy můžeme spojit sousedící intervaly stejné monotonie v případě, že je funkce spojitá v bodě, kde se setkávají. Jinak se musíme podívat, co se děje v onom spojovacím bodě, pro detaily viz Monotonie v části Funkce - Teorie - Reálné funkce.

Otázka: Kdy dáme do odpovědi uzavřené intervaly?
Odpověď: Vždy se snažíme dávat maximální intervaly monotonie. Proto bychom měli intervaly slepovat, kde je to možné (viz předchozí otázka), a proto bychom měli zkoušet přidávat koncové body intervalů, pokud to jde. Zde ale lidé nebývají příliš dogmatičtí. Snadný případ je, když je funkce v daném koncovém bodě spojitá z příslušné strany (pro pravý koncový bod potřebujeme spojitost zleva a naopak), pak je můžeme přidat. Jestliže spojitost nemáme, museli bychom dále pracovat, ale tradičně se lidem nechce a prostě se interval nechá otevřený. Je to takhle vlastně docela praktické, uzavřené konce intervalů monotonie indikují spojitost.

Lokální extrémy

Zde zase máme tvrzení, které nám pomůže omezit se pouze na malou množinu kandidátů.

Věta.
Nechť je funkce f definovaná na nějakém okolí bodu c. Jestliže má f lokální extrém v c, pak c musí být kritický bod.

Takže abychom našli lokální extrémy, nejprve najdeme všechny kritické body a pak je vyšetříme. Pro klasifikaci extrémů máme větu v sekci Derivace a monotonie v části Teorie - Věta o střední hodnotě, ale používá se zřídka. Jednak není spolehlivá, druhak lokální extrémy obvykle hledáme v situaci, kdy také zkoumáme monotonii, a pomocí této informace můžeme lokální extrémy snadno klasifikovat.

Fakt.
Nechť je f spojitá v c.
Jestliže existuje pravé okolí c, na kterém je f rostoucí, a levé okolí a, na kterém je f klesající, pak má f lokální minimum v c.
Jestliže existuje pravé okolí c, na kterém je f klesající, a levé okolí a, na kterém je f rostoucí, pak má f lokální maximum v c.

Jestliže spojitost nemáme, pak situaci musíme zkoumat blíže pomocí jednostranných limit a znalosti monotonie okolo c. Případů je mnoho a nestojí za to je všechny procházet, selský rozum by měl stačit. Uvažujme například následující případy:

Na prvním, třetím a pátém obrázku máme lokální maximum v c, zatímco druhý a čtvrtý obrázek ukazuje funkce, které nemají lokální maximum v c.

Pro praktický přehled odkazujeme na sekci Monotonie v části Přehled metod - Průběh funkce.

Příklad: Určete monotonii a lokální extrémy funkce f (x) = x4 − 4x3.

Řešení: Definičním oborem je celá reálná osa, takže máme jeden startovní interval, jmenovitě (−∞,∞).
Najdeme derivaci: f ′(x) = 4x3 − 12x2 = 4x2(x − 3).
Kritické body: f ′(x) = 0 dává x = 0 a x = 3; nejsou body, kde by f ′ neexistovala.
Máme tedy tři intervaly monotonie: (−∞,0⟩, ⟨0,3⟩ a ⟨3,∞), použili jsme uzavřené intervaly tam, kde je f spojitá.

Dosadíme x = −1 do f ′ a vidíme, že f ′ < 0 na (−∞,0⟩. Dosazením řekněme x = 1 do f ′ vidíme, že f ′ < 0 také na ⟨0,3⟩. Nakonec zkusíme x = 4 a zjistíme, že f ′ > 0 na ⟨3,∞).

Vidíme, že f je klesající na prvních dvou intervalech a rostoucí na třetím. Máme stejnou monotonii na sousedících intervalech, dají se spojit? Protože je f spojitá v 0, odpověď je kladná. Závěr tedy je, že f je klesající na (−∞,3⟩ a rostoucí na ⟨3,∞).

Kritické body jsou také kandidáti pro lokální extrémy. Když se podíváme, jak jde monotonie, tak vidíme, že v 0 žádný lokální extrém není a že f (3) = −27 je lokální minimum. Mimochodem, tato funkce vypadá takto:

Tento proces jde trochu zestručnit pomocí tabulky. Pro detaily viz Monotonie v části Přehled metod - Průběh funkce.


Konvexita
Zpět na Teorie - Průběh funkce