Konvexita

V této sekci budeme předpokládat, že zkoumaná funkce je "pěkná" ve smyslu, že její definiční obor lze rozdělit na podintervaly tak, aby na každém z nich funkce měla určitou konvexitu a byla dvakrát diferencovatelná. Samozřejmě ne všechny funkce tuto vlastnost mají, například Dirichletova funkce (v části Funkce - Teorie - Elementární funkce) nemá ve svém definičním oboru jediný interval, na kterém by byla konvexní či konkávní. Naštěstí téměř všechny funkce, které potkáme, spadají do kategorie "pěkných".

Hlavním nástrojem pro nacházení intervalů konvexity jsou věty ze sekce Derivace a konvexita v části Teorie - Věta o střední hodnotě. Z nich můžeme odvodit následující:

Fakt.
Nechť f je funkce. Předpokládejme, že pro některá a < b < c je tato funkce konvexní na (a,b) a konkávní na (b,c), nebo konkávní na (a,b) a konvexní na (b,c). Pak je buď f ′′(b) = 0 nebo f nemá druhou derivaci v b.

Tento fakt je implikace, takže ne každý bod s f ′′ nulovou nebo neexistující rozděluje intervaly rozdílné konvexity, ale takovéto body jsou přirození kandidáti. Nemají nějaké speciální jméno.

První krok při zkoumání konvexity funkce f : Začneme s intervaly, které tvoří definiční obor f. Pak najdeme všechny body s f ′′ nulovou nebo neexistující (není třeba přesně zkoumat existenci druhé derivace, stačí zahrnout jen body, kde je nějaké podezření). Tyto body rozdělí intervaly definičního oboru na podintervaly. Na každém z nich má funkce nějakou konvexitu.

Abychom zjistili, jakou konvexitu na těch intervalech máme, použijeme tuto větu:

Věta.
Nechť f je funkce spojitá na intervalu I a dvakrát diferencovatelná na jejím vnitřku I ^o.
Jestliže f ′′ > 0 na I ^o, pak f je konvexní na I.
Jestliže f ′′ < 0 na I ^o, pak f je konkávní na I.

Druhý krok při zkoumání konvexity funkce f : Pro každý interval z prvního kroku zjistíme, jaké má druhá derivace znaménko uvnitř tohoto intervalu. Protože toto znaménko musí být na celém takovém intervalu stejné, nejjednodušší způsob určení znaménka je vybrat si nějaký bod zevnitř intervalu a dosadit jej do f ′′. Pro příklad se podívejte níže.

Otázka: Kdy dáme do odpovědi uzavřený interval?
OdpovŘÔ: Koncové body zahrnujeme do intervalu většinou když je funkce spojitá v takovém bodě z příslušné strany (pro pravý koncový bod zleva a naopak).

Inflexní body jsou podle definice body, kde funkce existuje a mění se z konvexní na konkávní či naopak. Najdeme je tedy snadno, když se podíváme na intervaly konvexity.

Pro praktický přehled odkazujeme na sekci Konvexita v části Přehled metod - Průběh funkce.

Příklad: Určete konvexitu funkce f (x) = x⁴ − 4x³.

Řešení: Definiční obor je celá reálná osa, takže máme jeden startovní interval, jmenovitě (−∞,∞).
Najdeme druhou derivaci: f ′′(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2).
Dělící body: f ′′(x) = 0 dává x = 0 a x = 2; nejsou body, kde by f ′′ neexistovala.
Máme tedy tři intervaly konvexity: (−∞,0⟩, ⟨0,2⟩ a ⟨2,∞), použili jsme uzavřené intervaly tam, kde je f spojitá.

Dosadíme x = −1 do f ′′ a vidíme, že f ′′ > 0 na (−∞,0⟩. Po dosazení řekněme x = 1 do f ′′ vidíme, že f ′′ < 0 na ⟨0,2⟩. Nakonec zkusíme x = 3 a zjistíme, že f ′′ > 0 na ⟨2,∞).

Závěr tedy je, že f je konvexní na (−∞,0⟩, konkávní na ⟨0,2⟩ a konvexní na ⟨2,∞). Jsou dva inflexní body, f (0) = 0 a f (2) = −16. Mimochodem, funkce vypadá takto:

Tento postup jde zjednodušit pomocí tabulky, viz Konvexita v části Přehled metod - Průběh funkce.

Asymptoty
Zpět na Teorie - Průběh funkce