Rozklad na parciální zlomky - Přehled metod

Dáno: ryzí racionální lomená funkce, tedy podíl polynomů takový, že st(p) < st(q), kde je jmenovatel q rozložen na faktory co nejvíce je možné,

Zde již nelze kvadratické faktory dále rozložit na lineární faktory (nemají reálné kořeny) a všechny faktory v rozkladu jsou různé.

Cílem je rozložit tento podíl na součet parciálních zlomků.

Algoritmus pro rozklad na parciální zlomky.
Krok 1. Pro každý faktor (x − a)n přidejte do rozkladu n parciálních zlomků

Pro každý faktor (x2 + αx + β)n přidejte do rozkladu n parciálních zlomků

Je zvykem neznačit konstantu pomocí indexů, ale pomocí po sobě jdoucích písmen. Zde najdete několik příkladu, které by měly sestavení rozkladu osvětlit. Všimněte si, že počet neznámých písmen vždy odpovídá stupni jmenovatele. Všimněte si také, že čitatel p nemá na tvar parciálních zlomků žádný vliv.

Step 2. Určete neznámé konstanty A, B, C,... objevující se v parciálních zlomcích pomocí znalosti p.

K určení neznámých konstant je několik metod, pokryjeme teď ty nejdůležitější. K jejich ilustraci použijeme následující funkci.

Nejprve rozložíme jmenovatel na (x − 3)(x + 1). Dostáváme tedy dva parciální zlomky, obecně

Teď musíme najít konstanty A a B, ukážeme ty nejužitečnější metody.

"Násobící" metoda:
Rovnici danou hledaným rozkladem výše vynásobíme jmenovatelem zlomku, vykrátíme na pravé straně (což vždycky jde) a pak roznásobíme. Poslední krokje shromáždit stejné mocniny na pravé straně, takže tam vznikne polynom s neznámými koeficienty.

Máme rovnost dvou plynomů, což nastává jen tehdy, jsou-li jejich koeficienty shodné. Dostáváme tak soustavu rovnic

Řešení je A = 2, B = −1, takže

Tím je rozklad hotov. Mimochodem, oba parciální zlomky hravě integrujeme zpaměti (popř. použijeme na každý parciální zlomek lineární substituci) a dostaneme

Integrál platí na intervalech neobsahujících čísla −1 a 3.

Tento trik je jediná opravdu spolehlivá metoda. Vždy funguje, díky čemuž je velice důležitá. Nevýhodou je, že může být velice dlouhá a pracná pro ruční výpočet, protože obecněje počet neznámých a počet rovnic, které obdržíme, rovný stupni jmenovatele.

"Zakrývací" metoda:
Vyjdeme z původní rovnice:

Chceme-li znát A, zakryjeme na levé straně odpovídající faktor (x − 3) a do vzniklého výrazu dosadíme příslušný kořen x = 3. Dostaneme

Podobně zakrytím (x + 1) a dosazením x = −1 dostaneme

Dostáváme tedy stejný rozklad jako předtím a prakticky zdarma. Toto je nejlepší metoda získávání neznámých koeficientů, zkušený rozkladač si jen napíše tu základní rovnici s obecným rozkladem, pak si v ní prstem zakrývá faktory a rovnou píše výsledky. Zkuste si to sami:

Protože toto bude evidentně naše nejoblíbenější metoda, podíváme se na ni bllíže. Předpokládejme, že máme podíl polynomů a že (x − a)n je jeden z faktorů q. Teorie nám říká, že pak máme následující obecný rozklad

Podíl P/Q tam reprezentuje součet ostatních parciálních zlomků, Q je vlastně stejný polynom jako q ale bez faktoru (x − a)n. Teď tuto rovnost vynásobíme tímto faktorem a pak do výsledné rovnice dosadíme hodnotu x = a.

Napravo jsme dostali neznámý koeficient An, ve jmenovateli nalevo vlastne odebíráme (zakrývíme) faktor (x − a)n, takže toto je vskutku princip zakrývacího triku. Ten poslední řádek tedy vlastně dává obecný vztah pro tuto metodu.

Teď také vidíme hlavní omezení této metody. První problém nastane, když je n větší než 1, protože pak nejsme schopni dostat další odpovídající konstanty. Například k získání An−1 bychom měli ve jmenovateli zakrýt (x − a)n−1, ale pak by tam pořád zůstalo (x − a) ve jmenovateli a tentokráte už není možné dosadit a za x. V těch příkladech výše byly vždy lineární faktory jen v první mocnině, což je pro zakrývací trik ten nejlepší možný případ. Teď se podíváme na něco méně pěkného.

Příklad: Uvažujte následující rozklad.

Příklad:

Všimněte si, že x2 není ireducibilní kvadratický faktor, ale lineární člen (x − 0) na mocninu dva, takže jsme s ním podle toho zacházeli. Teď určíme konstanty, začneme tím nejjednodušším způsobem, tedy zakrávací metodou.

Zakrytím členu (x − 1) na levé straně a dosazením x = 1 získáme C = 1. Zakrytím x2 a dosazením x = 0 dostaneme B = 1. Nelze ale zakrýt jen jedno x a dosadit nulu, neboli zakrývací metoda selže u konstanty A.

Obrátíme se tedy na spolehlivou metodu násobící, ale protože už známe dvě hodnoty, tak nebudeme muset řešit systém tří rovnic, bude stačit jedna. To nám podstatně zjednoduší práci.

Podobně postupujeme v případě, kdy jsou i kvadratické faktory. To je druhé omezení zakrývací metody, nedá nám koeficienty odpovídající kvadratickým faktorům. Důvod je jednoduchý, není reálný kořen, který by šlo dosadit. Postup si ukážeme na příkladě níže, nejprve si to shrneme.

Algoritmus pro určování koeficientů parciálních zlomků.
Krok 1. Pokud jsou tam nějaké lineární faktory, pak prokaždý faktor (x − a)n najděte koeficient odpovídající parciálnímu zlomku s nejvyšší mocninou pomocí zakrývací metody:
a) Zakrujte faktor (x − a)n ve jmenovateli dané funkce,
b) dosaďte x = a do výrazu, který zbyl.
Pokud má daná funkce pouze lineární faktory v mocnině 1, jste hotovi.
Krok 2. Pokud jste dostali nějaké koeficienty v Kroku 1, dosaďte je do obecného rozkladu, který určujete. Pak najděte zbývající koeficienty pomocí násobící metody:
a) Vynásobte obě strany rozkladu společným jmenovatelem a zkraťte na pravé straně,
b) přepište výraz napravo jako polynom,
c) srovnáváním koeficientů polynomů nalevo a napravo odvoďte tolik rovnic, kolik zbývá určit proměnných,
d) vyřešte tyto rovnice. Je to hotovo.

Než ukážeme další příklad, ukážeme dvě pomocné metody. Není nutné je znát (ten algoritmus výše obvykle funguje velice dobře), ale někteří lidé by mohli ocenit, že usnadňují získávání rovnic při násobící metodě.

"Dosazovací" metoda:
Při této metodě vyjdeme z rovnice, kterou jsme dostali vynásobením rozkladu při násobící metodě. V příkladě výše to je rovnice označená (*). Tato rovnice má platit pro všechna x, tudíž i pro nějakou konkrétní hodnotu, kterou si vybereme. Pokud do této rovnosti dosadíme nějaké konkrétní číslo za x, dostaneme rovnici s neznámými koeficienty. Kolik rovnic potřebujeme, tolikrát dosadíme za x nějaké číslo. Komplikace může vzniknout, pokud by některé takto vzniklé rovnice nebyly nezávislé, ale to se pozná v průběhu řešení a proste se dosazením jiného x přidá další rovnice.

Dosazení kořenů lineárních faktorů je ekvivalentní zakrývací metodě. Pokud jsme ji tedy již před násobící metodou použili, pak je pro dosazovací metodu třeba použít jiné hodnoty než kořeny.

Vraťme se k poslednímu příkladu. Když dosadíme do rovnice (*) něco jiného než 0 a 1, například x = −1, tak dostaneme rovnici pro A.

"Limitní" metoda:
Tato metoda začíná s původní rozkladovou rovností. Ta se skládá z racionálních lomených funkcí a my dobře víme, jak se tyto chovají v nekonečnu. V rovnici jsou všechny racionální lomené funkce ryzí, takže jsou stupně v čitatelních menší než ve jmenovatelích a v nekonečnu jdou podíly k nule. Nicméně jsou tam vždy některé, u nichž je stupeň v čitateli přesně o jedničku menší než ve jmenovateli. Pokud tu základní rovnici vynásobíme proměnnou x a pak přejdeme do nekonečna, určíme snadno limitu všech podílů. Ty, které mají pořád menší stupeň v čitatelu, půjdou k nule, ale ty, u kterých se teď stupně srovnaly, půjdou k podílu koeficientů u nejvyšších mocnin. Zase se vrátíme k příkladu výše a vyzkoušíme to, nejprve vynásobíme všechny členy x a pak to x pošleme do nekonečna.

Dostali jsme rovnici skoro zadarmo, zkušený řešič to dokáže, aniž by si dokonce tu vynásobenou rovnost psal, prostě se podívá na tu původní rozkladovou a rovnou píše rovnici. Často to už stačí, i zde jsme již všechny ostatní neznámé získali zakrývačkou, takže rovnou dopočítáme i A a máme rozklad.

Jak už jsme psali, tyto dvě pomocné metody není opravdu nutné znát. Někteří studenti nelibě nesou, když se věci komplikují a musí se víc rozhodovat, vyloženě jim vyhovuje ten algoriutmus výše, prostě se naučí zakrývací a násobící metodu a zvládnou tím všechno, i když třeba občas musí více počítat. Vyjdeme jim vstříc a budeme tak základní řešení dělat i zde.

Nicméně mnozí studenti, kteří se cítí v této oblasti jistí, se často nebojí si rozhodovací postup zkomplikovat a ocení, když znají i pár triků, které dokáží někdy výrazně zkrátit výpočty. Pro ně jsme zde představili ty dvě pomocné metody, budeme je na vhodných místech používat jako alternativní postup. Triků dokonce existuje mnohem víc, zvědavý čtenář najde několik pokročilejších ale asi méně praktických metod v této poznámce.

Příklad: Uvažujme následující rozklad.

Jeden koeficient jsme dokázali najít zakrývacím metodou, zakryli jsme vlevo (x − 1) a do zbytku dosadili x = −3. Tím jsme ale skončili, je čas na násobící metodu. Nejprve vynásobíme společným jmenovatelem a pokrátíme rovnici:

Standardní postup je teď vynásobit rovnici označenou hvězdičkou jmenovatelem, roznásobit pravou stranu, přepsat ji jako polynom, pak porovnat obě strany a dostaneme čtyši rovnice, při jejichž řešení pomůže, že už známe B:

a tedy

Kde by se tady mohl projevit dosazovací trik? Namísto roznásobování na pravé straně je možné začít s rovnicí (*) a dostat tři rovnice (tolik jich potřebujeme) dosazením tří hodnot za x, pokud možno malých.

Zdá se, že bylo snadnější takto získat tři rovnice, na druho stranu tento postup často dává rovnice s velkými koeficienty, což není tak pěkné, když dojde na jejich řešení. Jak už jsme poznamenali, tato metoda je bonus, berte ji nebo nechte ležet.

Další pomocná metoda používala limitu. Vynásobíme základní rovnost výrazem x a pak přejdeme do nekonečna.

Je to jen jedna rovnice, ale skoro zadarmo. Všimněte si, že je stejná, jako jsme dostali u násobící metody při porovnávání nkoeficientů u nejvyšší mocniny. Není to náhoda, tak to vyjde vždycky.

Další příklady se najdou rovněž v části Řešené příklady - Integrace, kde se vlastně u většiny příkladů dříve či později dojde k parciálním zlomkům, typický rozklad je například v tomto příkladě.


Zpět na Přehled metod - Metody integrace