Příklad: Vypočítejte integrál

Řešení: Tento příklad byl načat v této poznámce coby příklad na substituci, připravili jsme ji takto:

Proč jsme se tak rozhodli? Odmocnina evidentně zlobila, takže zbavit se jí substitucí vypadá jako dobrý nápad. Zda to bude možné se rozhodne podle toho, jestli dokážeme vyjádřit dx čistě pomocí y. Bylijsme úspěšní, takže lze přejít k novému integrálu.

Byly nějaké alternativy? Když si projdeme "šuplíky" pro různé typy, tak vidíme, že daný intgrál zapadá jedině do šuplíku "integrály s odmocninami". tam se doporučuje nepřímá substituce x = y2, ale to je přesně to, co jsme zde udělali.

Nový integrál zjevně patří do šuplíku "racionální (lomená) funkce", takže použijeme příslušného postupu. Nejprve se pro jistotu podíváme, jestli nejde ve zlomku zkrátit, abychom zbytečně nepracovali, ale nejde, takže začneme standardní kroky. Protože čitatel má vyšší stupeň než jmenovatel, nejprve polynomy vydělíme se zbytkem, na ten pak nasadíme parciální zlomky:

Protože jde o lineární faktory, neznámé konstanty hravě ziskáme zakrývacím trikem a rozklad je hotov.

Protože víme, že lineární substituce jde vždy provést, budou se oba zlomky vlastně integrovat jako 1/y, což je tabulkový integrál, rovněž polynom y − 2 integrujeme snadno. Můžeme tedy příklad dokončit. Pokud si nejsme jisti integrací oněch zlomků, raději nasadíme substituce, řekněme s = y − 1 a t = y + 3, viz zde. Takže:

Mimochodem, pokud by ten integrál byl neurčitý (či pokud bychom se rozhodli nejprve počítat neurčitý a pak dosazovat x-ové souřadnice), dostali bychom toto:

Ty dva logaritmy by šly dát dohromady, ale v argumentu vzniklého logaritmu by pak byla patnácná mocnina, což nevypadá nijak lépe než to, co máme teď, takže už toho necháme. Integrál platí na všech intervalech nezáporných čísel, které neobsahují x = 1. Při výpočtu určitých integrálů je důležité ověřit, že integrujeme přes intervaly, kde integrál existuje, což je u daného integrálu pravda.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Integrace