Příklad: Vypočítejte integrál
Řešení: Tento příklad se dá vyřešit několika způsoby. Zapadá přesně do šuplíku "racionální (lomené) funkce", takže začneme příslušným algoritmem. Nejprve vydělíme se zbytkem a pak zbytek rozložíme na parciální zlomky. Ukáže se, že to není třeba, protože již zbytek sám je parciálním zlomkem, takže rovnou integrujeme.
Všimněte si, že jsme parciální zlomky teoreticky definovali s výrazu typu
Není to ale třeba, dá se ukázat, že konstanta u proměnné nevadí, jen je třeba pak být opatrný při integrování.
Teď se podíváme na alternativy. Za prvé, je zde jednoduchý způsob, jak se ti, kteří neradi dělí polynomy, tomu mohou vyhnout. Trik je jednoduchý, pomocí algebry se v čitateli vytvoří výraz ze jmenovatele (viz triky přičtu-odečtu a vynásobím-vydělím zde). Dělá se to takto
V integrálu to vypadá následovně
Samozřejmě tak vyjde totéž co předtím, ale někomu to může přijít jednodušší.
Další zajímavou alternativou je zjednodušit si jmenovatel tak, abychom jím mohli snadno vydělit. Dalo by se to také nazvat přesunem odčítání do čitatele, slouží k tomu jednoduchá lineární substituce.
Výsledek snadno upravíme do podoby, kterou už máme výše.
Příklad také zapadá do šuplíku "podíl lineár", použijeme doporučenou substituci.
Teď integrujeme racionální (lomenou) funkci, která má jen jeden lineární faktor ve jmenovateli, ale ve vyšší mocnině. Jednu konstantu v rozkladu získáme zakrývacím trikem, pak je třeba získat jednu rovnici, kterou snadno získáme limitním trikem. Vynásobíme obecný rozklad výrazem y a pak jej počleme do nekonečna. Kdo chce, může použít násobící metodu, ukážeme to jako alternativu.
Now we finish the calculation using an obvious substitution, an experienced integrator would write the integrals right away, but it may be a good idea to do these substitutions properly in order not to forget some constant.
Dostali jsme stejný výsledek jako u prvního postupu.