Příklad: Vypočítejte integrál
Řešení: Tohle je evidentně racionální (lomená) funkce, takže nás čekají parciální zlomky. Existuje alternativa? Jedině nějaká substituce, ale protože čitatel není blízký derivaci jmenovatele (zkuste to), tak nás substituce nezachrání. Proto začneme se standardním postupem.
Stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele a jmenovatel je již rozložen, takže rovnou nasadíme parciální zlomky. Objeví se šest neznámých konstant, z nichž žádnou nedostaneme lehce, protože nemáme kořeny. Je tedy třeba získat šest rovnic, zkusíme obecný postup roznásobením, protože nebude příliš těžký.
Kdyby se to roznásobování začalo komplikovat, tak by to svádělo k hledání alternativ. Jsou způsoby, jak najít pár rovnic relativně bezbolestně, ale ne všech šest. Zvídavý čtenář najde bližší pohled zde. Každopádně teď musíme integrovat
Teď bychom měli zaznamenat, že ve jmenovatelích nejsou ve kvadrátech lineární části, proto vynecháme krok s doplněním na čtverec a rovnou integrujete. Parciální zlomky jsme přesně podle doporučení rozdělili na část s x ve jmenovateli a na část bez. Víme, že integrály s x ve jmenovateli lze snadno integrovsat pomocí kvadratické substituce a ten druhý integrál je tabulkový.
Poslední člen nelze rozumně spočítat pomocí selského rozumu a znalosti základních metod, standardní postup nám říká, ať si vyhledáme redukční vzorec a aplikujeme jej. Jdeme na to.
Teď to dáme dohromady.
