Příklad: Vypočítejte integrál

Řešení: Tento příklad nevypadá, že by zapadl do nějakého šuplíku, tak zkusíme přemýšlet nad substitucí. Docela tam vadí ty reciproké x, tak se jich zkusíme zbavit. Zkušený integrátor již dopředu vidí, že tato substituce bude úspěšná, protože derivace 1/x je (až na znaménko) 1/x², což přesně máme v integrálu k dispozici. Protože se zdá, že výpočet bude obtížnější, zkusíme nejprve spočítat neučitý integrál a pak dosadíme.

Integrál se opravdu silně zjednodušil, teď jsou na řadě parciální zlomky. Protože se jmenovatel rozpadl na různé lineární faktory, potřebné konstanty hravě dostaneme zakrývací metodou. Pokud ji chcete vidět, podívejte se sem. Zase si zjednodušíme práci tím, že nevytkneme dvojku z posledního faktoru. Lineární faktory pak hravě integrujeme pomocí substituce, například z = 2y − 1.

Teď dosadíme do výsledku, všimněte si, že integrujeme přes interval, který vyhovuje podmínkám platnosti integrálu. Výsledek nebude nic příjemného, ale to je život.

Existuje alternativní řešení tohoto příkladu. Zlomků ve jmenovateli se totiž můžeme zbavit také tím, že každou závorku vynásobíme jedním x. Dvě už máme k dispozici, třetí si přikouzlíme metodou vynásobím-vydělím. Postup stručně ukážeme, zase vede k parciálním zlomkům.

Zde jsou detaily.

Výsledky jsou si rovny.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Integrace