Příklad: Vypočítejte integrál
Řešení:
Tento integrál se bude řešit nějakým trikem ze šuplíku
"goniometrické
integrály". Žádný pěkný ale nezabere, protože nám v čitateli chybí nějaká
doplňující část k substituci. Ideální by bylo
Zdá se tedy, že nezbývá nic jiného, než nasadit univerzální substituci pro goniometrický integrál (viz goniometrické integrály) v Přehledu metod - Integrace
Tohle vypadá na parciální zlomky, ale když upravíme jmenovatel, ukáže se, že integrál udolá jednoduchá lineární substituce, neboť už to vlastně je parciální zlomek:
Nebylo to tedy až tak hrozné. Pokud bychom potřebovali integrál neurčitý, dostali bychom
Poslední úprava a zkouška jsou naznačeny zde. Problém je s definičním oborem. Integrál existuje, pokud je jmenovatel nenulový; proto můžeme integrovat jen přes intervaly neobsahující body specifikované ve výsledku (s naším integrálem jsme tedy měli štěstí). Při výpočtu jsme ale prováděli substituci, která díky tangensu rovněž nepovoluje žádné celé násobky π. Co s tím? Tyto body během výpočtu zase přestaly "zlobit" a výraz, který vyšel, je v těchto bodech definován. Znamená to, že je to v pořádku? Matematicky ne, je to ovšem znamení, že máme velkou naději, že to nakonec dobře dopadlo. Zkouška ukázala, ža ano, "špatné body ze substituce" se tedy nakonec nějak "udobřily". Není to však pravidlem! Tento i tento příklad ukazují, že se na to nedá spoléhat.
Pro tento konkrétní integrál lze použít ještě jinou fintu, která nás
může napadnout, když si vzpomeneme, že jedna z populárních goniometrických
identit obsahuje výraz
Poslední úprava i zkouška opět potřebují trochu zacvičit s goniometrickými identitami, postup je podobný jako u předchozího řešení tohoto příkladu.