Příklad: Vypočítejte integrál

Řešení: Nikdy jsme neviděli žádný vzorec pro integrál absolutní hodnoty, co tedy máme dělat? Jako obvykle, když vidíme absolutní hodnotu, zkusíme se jí zbavit rozepsáním:

Poznamenejme, že jsme poněkud nezvykle použili rovnost u obou variant, ačkoliv je čtenář asi zvyklý, že se při určení platnosti použije jednou nerovnost neostrá a podruhé ostrá. Tady to ale není špatně, protože když vezmeme x = 1, tak oba vzorce dávají stejnou hodnotu. Pro nás bude výhodné mít obě varianty na uzavřené množině.

Tolik předběžné varování, můžeme integrovat.

Máme tedy

Toto značení ale není vůbec šťastné, protože naznačuje něco, co není pravda. Rozhodně neplatí, že by primitivní funkce k dané byla určena funkcí danou rozpisem na pravé straně, ve skutečnosti je to opravdu tak, že na jednom itnervalu je jedna primitivní funkce a druhém intervalu jiná, dokonce i to C může být u každého řádku jiné. Ten předchozí zápis, kde je každý integrál zvlášť, je určitě přesnější.

Z praktického pohledu je to tak, že když chceme integrovat přes integrál, který splňuje první podmínku, tak použijeme první vzorec. Pro intervaly splňující druhou podmínku použijeme druhý vzorec. Zatím dobré, ale co když nějaký interval zasahuje do obou oblastí, což je mimochodem zrovna případ našeho příkladu?

Už víme, že by bylo chybou prostě dosadit nulu do první formulky a čtyřku do druhé - schválně zkuste takto dosadit a uvidíte, že se váš výsledek bude lišit od správného níže. Jsou dvě možná řešení, obě založená na Newton-Leibnizově vzorci, který vyžaduje primitivní funkci na integrovaném intervalu.

Jedna možnost je rozdělit integrál na dvě části.

Teď uvažujme dvě funkce:

Funkce G je všude spojitá a diferencovatelná, pro nás je podstatné, že je spojitá na intervalu ⟨0,1⟩ a že G ′ = f na intervalu (0,1). Funkce G je tedy primitivní funkcí k dané funkci na intervalu ⟨0,1⟩ a proto jí můžeme použít k výpočtu prvního integrálu. Podobně je funkce H primitivní funkcí k dané funkci na intervalu ⟨1,4⟩. Máme tedy

Tomuto způsobu obvykle dáváme přednost. Praktické pravidlo je jednoduché, prostě na intervalech používáme vhodný vzorec, a pokud není, tak intervaly rozdělíme. Těmi detaily jsme se zabývali, abychom si připomněli, jak je to všechno podepřeno teorií.

Zajímavou alternativou je zkusit najít primitivní funkci k f (x) = |2 − 2x| + 1. na celé reálné ose, která musí existovat (integrujeme funkci spojitou, je na to věta). Nebude to tak rychlé jako předchozí řešení, ale zase nám pomůže porozumět, jak vlastně integrály fungují.

Nejprve se podíváme, jestli ty dvě funkce G a H na sebe navazují v bodě 1. Jednostranné limity se dělají zpaměti:

Vychází nám skok, jednotlivé funkce vlastně vypadají takto:

Nejprve se tedy musíme pokusit o vytvoření spojité funkce. Protože si nechceme pokazit derivace mimo bod 1, uděláme to posunutím pravé větve vzhůru tak, aby se "slepila" s větví levou. Takto zůstanou její směrnice tečen (derivace) stejné.

Funkce F je spojitá na celé reálné ose, a protože jsme zachovali původní primitivní funkce, jednu jsme jen posunuli vzhůru o konstantu, tak mimo bod 1 určitě stále platí F ′ = f (ověřte derivováním). Teď musíme vyzkoušet, jak je to s derivací F v bodě 1. Vzhledem k tomu, že jde o funkci spojitou a diferencovatelnou na prstencovém okolí bodu 1, podle věty stačí spočítat limitou jednostranné derivace v bodě 1 a porovnat je s f (1):

Vidíme tedy, že funkce F je opravdu primitivní funkcí na celé reálné ose a můžeme dosadit:

Dostali jsme stejný výsledek, což se dalo čekat.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Integrace