Příklad: Vypočítejte integrál

Řešení: Tento integrál máme vyřešit bez triků, takže jej evidentně potřebujeme přepsat tak, aby zůstaly jen tabulkové integrály. Vezmeme to zleva. V čitateli se dá roznásobit mocnina, vzniknou pak jednoduché mocniny, což je rozhodně zlepšení. V druhém členu máme druhou mocninu kosinu, kterou neumíme integrovat. Naštěstí existuje goniometrická identita, která to změní ve výrazně lepší výraz, například v něm nebude druhá mocnina. A nakonec třetí člen, který může na první pohled vypadat drsně, ale je to jen mocnina, tak si ji tak napíšeme.

Zbývá upravit první člen, zlomku se zbavíme snadno vydělením, rovnou také rozdělíme prostřední člen.

Teď spojíme konstanty a použijeme linearitu k rozdělení integrálu na spoustu menších, které pak jednotlivě integrujeme, jsou to všechno tabulkové integrály. Nenecháme se vyvést z míry tím, že máme t, víme, že na jméně proměnné nezáležé a integrujeme jako obvykle.

Zbývá po sobě uklidit. Samozřejmě přepíšeme členy do pěknějšího tvaru, potřebujeme také určit obor platnosti. Začneme daným integrálem, tam zlobí odmocnina a nutí nás se omezit na t > 0. Vidíme také, že pokud se takto omezíme, tak existuje jak výraz v zadaném integrálu, tak výraz ve výsledku, proto je toto obor platnosti integrálu. Jsme tedy připraveni napsat výsledek, ještě si můžeme všimout, že díky našemu omezení pak nemusíme použít absolutní hodntu v logaritmu.

Uděláme ještě jednu věc, napíšeme znovu celý výpočet, ale bez detailů, které zkušený integrátor dělá v hlavě a nepíše.