Příklad:

Zkusíme jej vyřešit čistě doporučeným postupem pomocí identit, kdy se snižuje mocnina výměnou za násobky u proměnné.

Bylo to velmi dlouhé, ale jak jsme slibovali, nakonec to opravdu skončilo integrály řešenými lineární substitucí. Jsou nějaké alternativy?

Zkušený integrátor by se vydal jinou cestou na třetím řádku. V integrálu napravo je "extra kosinus", což jasně ukazuje na kosinovou substituci. Levý integrál je prostě mocnina sinu, což se dá dělat pomocí redukčního vzorce, ale ten si pamatuje málokdo, častější přístup bude vzít si jeden sinus stranou jako "extra sinus" a změnit zbytek v kosiny, čímž se připravíme na kosinovou substituci.

Jak se dalo čekat, bylo to poněkud kratší, a to jsme ještě psali všechny detaily, zkušený integrátor by toho hodně udělal zpaměti.

Je nějaká alternativa? Což takhle hned na začátku? Ve skutečnosti spíše ne. V daném integrálu jsou obě goniometrické funkce v liché mocnině, což je ten nejhorší případ. Samozřejmě lze vždycky použít univerzální substituci, ale jako obvykle to vede na integrál, který bychom už nejraději nikdy v životě neviděli.