Příklad: Rozhodněte, zda tento integrál konverguje:
Řešení:
Integrovaná funkce je pro
Kdybychom se ale pokusili použít tuto nerovnost ve Srovnávacím kritériu, pomohlo
by to jen v případě, že je testovací integrál divergentní. Pak by byl i daný
integrál - coby větší - divergentní. Když se ale podíváme na testovací
funkci, měly by nás přepadnout pochyby. Všimněte si, že pro velké hodnoty
x je exponenciála mnohem větší než jakákoliv mocnina. Znamená to mimo
jiné, že pak ta exponenciála ve jmenovateli bude určitě větší než
Protože ta poslední funkce má okolo nekonečna konvergentní integrál, podle srovnání by měla mít konvergentní integrál i ta funkce nalevo. Toto podezření si potvrdíme později. Teď je jen dobré si uvědomit, že jsme pro danou funkci dostali dolní odhad, ale protože testovací integrál bohužel vypadá konvergentně, jde o situaci, kdy Srovnávací kritérium selže. Zkusíme tedy místo toho Limitní srovnávací kritérium.
Když x roste do nekonečna, v čitateli převáží x a ve jmenovateli ta exponenciála:
Teď musíme potvrdit naši volbu testovací funkce:
Při výpočtu jsme použili faktu, že poblíž nekonečna exponenciála přebije mocniny; přesně,
Volba testovací funkce je ověřena. Teď potřebujeme poznat, zda je testovací integrál konvergentní. Nejprve najdeme primitivní funkci pomocí integrace per partes:
Výpočet testovacího integrálu tedy vede k
Testovací integrál konverguje, takže podle Limitního srovnávacího kritéria konverguje i daný integrál.
Poznámka:
Integraci per partes jsme se mohli vyhnout, pokud bychom dokázali, že
existuje takové
Protože víme, že integrál od K do nekonečna z funkce napravo konverguje, podle Srovnávacího kritéria musí konvergovat i integrál z testovací funkce nalevo, a tedy podle Limitního srovnávacího kritéria i daný integrál konverguje.