Příklad: Rozhodněte, zda tento integrál konverguje:
Řešení:
Není vidět nějaká rozumná metoda, jak najít primitivní funkci (ověřte, že
substituce a integrace per partes nezaberou). Jedinou naději tedy nabízí
srovnávací testy. Protože máme přirozený odhad pro sinus, verze Srovnávacího
kritéria s absolutní hodnotou se přímo nabízí. A opravdu, pro všechna
Víme, že konverguje, takže podle Srovnávacího kritéria konverguje i daný integrál.
Poznámky:
1. Ve většině problémů na testování konvergence nám sloužilo Limitní
srovnávací kritérium jako jakási univerzální záloha. Když jednodušší
Srovnávací kritérium selhalo, t Limitní pomohlo, a mohli jsme jej použít
dokonce i v případech, kdy Srovnávací kritérium fungovalo. Existují nicméně
problémy, kde zdánlivě neporazitelné limitní srovnání selže - a tento
příklad je jedním z nich.
Co se stane, když x roste do nekonečna? Ta druhá mocnina ve
jmenovateli se bude chovat jako - druhá mocnina, s tím nic nenaděláme. V
čitateli máme oscilující funkci, kterou právě kvůli té oscilaci nemůžeme
zrovna ignorovat. Například se můžeme pokusit porovnat danou funkci s funkcí
neexistuje, což ukazuje, že toto srovnání je špatně.
Podobný výpočet ukáže, že ani jiné mocniny nepomohou. Pokus se pokusíme
zvýšit mocninu z 2, ověřovací limita pořád nebude existovat. Pokud zkusíme
nižší mocninu, ověřovací limita vyjde nula. Například pokus
(kupříkladu Větou o sevření), takže i toto srovnání nevyšlo.
Tím se ukázalo, že mocniny coby testovací funkce nepomohou, podobný argument také vyloučí exponenciály. Závěr je, že Limitní srovnávací kritérium zde nepomůže.
2. Uvažujme problém konvergence integrálu
Ani tento nelze vypočítat přímo metodami, které známe, a Limitní srovnávací
kritérium selže stejně jako v první poznámce. Zde nám ale dokonce nepomůže
ani Srovnávací kritérium! Opravdu, pro
ale my víme, že diverguje, a tak není možné udělat žádný závěr.
Protože jiné testy už jsme neprobrali, tento příklad nejde vyřešit metodami, které zatím známe. Dá se to udolat trikem přes řady, viz příslušné cvičení v části Řady - Cvičení - Taylorův rozvoj.