Sčítání řad

Uvidíme, že často je relativně snadné určit, že daná řada konverguje. Nalezení jejího součtu, čísla, ke kterému konverguje, je ale překvapivě obtížný problém. Neexistuje obecný přístup, kterým by se dalo začít; známé výsledky jsou spíš vedlejší výstupy dosti pokročilých výpočtů v rozličných partiích matematiky. To je také důvod, proč se na problém sčítání řad v kursech kalkulu spíš jen nakoukne. V zásadě zde uděláme totéž. Nejprve ukážeme dva případy, kdy víme, jak získat součet, geometrickou a teleskopickou řadu. Pak uvedeme přístup přes Taylorovy řady, který má občas dobrou šanci na úspěch. Nakonec připomeneme několik vzorců pro součty mocnin.

Už jsme v předchozím odstavci naznačili, že sčítat řady přesně, výpočtem, je drsné; dá se tedy čekat, že pro mnohé, dokonce pro většinu řad níže popsané metody (a další metody) selžou. Co pak můžeme dělat? Samozřejmě zkusíme aproximovat, což je téma příští sekce. Teď zpět k našim metodám.

Geometrická řada

Je jedna řada, kterou umí sečíst každý - jmenovitě geometrická řada. Zde je situace velmi snadná, stačí si pamatovat následující vzorec.

Fakt.
Jestliže |q| < 1, pak

Vzhledem k tomu, že to je vzorec jen pro jeden typ řady, tak je překvapující, jak často nám pomůže. Někdy je daná řada geometrická v převleku a pak je třeba trochu zapracovat, aby se ocitla ve správném tvaru.

Příklad:

Namísto formálního provedení substituce stačí vzít a vytknout (3/4)2 z geometrické řady. Pokud si náhodou pamatujete ten obecnější vzorec (součet geometrické řady pro indexaci začínající v n0), tak můžete substituci vynechat a rovnou tam použít ten vzorec.

Teleskopická řada

Teleskopickou řadou myslíme libovolnou řadu ve tvaru  (bk − bk+1). Důvod, proč se jí tak říká, bude hned jasný, jen co zkusíme najít její částečný součet.

Jak vidíme, řada se zhroutila do sebe, složila se jako pirátský dalekohled neboli teleskop. Protože je konvergence řady dána konvergencí částečných součtů, dostaneme následující tvrzení.

Fakt.
Teleskopická řada  (bk − bk+1)  konverguje tehdy a jen tehdy, když posloupnost {bk} konverguje. Pak také

Volba pořadí členů v definici teleskopické řady byla zcela na nás, mohli jsme také definovat teleskopickou řadu jako řadu se členy (bk+1 − bk). Platí pak analogický fakt o její konvergenci a součtu, jen ten vzorec pro součet má členy na pravé straně prohozeny (což je přirozené, jestliže prohodíme na jednom konci, musíme i na druhém). V praxi si lidé většinou ten vzorec jako takový nepamatují, spíš ten postup, už proto, že se pomocí něj dají vyřešit i další typy řad. Příklad, který teď přichází, ukazuje, že i teleskopická řada se může maskovat.

Příklad: Najděte součet

Máme teleskopickou řadu. Abychom určili její konvergenci nebo divergenci, podíváme se na její částečné součty a přejdeme k limitě.

Teleskopické řady jsou docela vzácné, rozhodně jde o pojem výrazně méně užitečný než ta geometrická řada výše.

Použití mocninné řady

Někdy dostaneme velmi užitečnou informaci o součtu řady, pokud si do ní uměle zavedeme člen xk, čímž vznikne mocninná řada. Musíme to udělat takovým způsobem, abychom po dosazení určité konstanty za x zase dostali původní řadu. Jedna populární volba je nahradit 1 výrazem xk, pak po substituci 1 za x dostaneme zase naši řadu. Několik typických příkladů:

Když například v druhém případě dosadíme x = 1/2, dostaneme původní řadu. Proč by mělo pomoci, když si problém ještě zkomplikujeme? Někdy dokážeme určit, že ona mocninná řada napravo je vlastně rovna nějaké funkci f (x). Pak můžeme zkusit dosadit tu pravou konstantu za x (viz předchozí odstavec) jak do řady, tak do f, a při troše štěstí dostaneme součet naší řady.

Příklad: Zkusíme najít součet alternující harmonické řady 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... Poslední příklad výše ukazuje přirozený způsob přeměny alternující harmonické řady v mocninnou řadu. Jaká to náhodička, tato mocninná řada je přesně Taylorův rozvoj funkce ln(1 − x) (viz Taylorova řada v části Teorie - Řady funkcí). Když tedy dosadíme x = −1 do této řady, dostaneme alternující harmonickou řadu, ale to by mělo být totéž jako dosazovat x = −1 do ln(1 − x). Dostaneme proto

Sumy jako 1 + 2 + 3 + ... + N

Víme, že pro každé kladné q máme  ∑ kq = ∞. Případ nekonečné sumy je tedy triviální, ale konečné sumy - částečné součty takové řady - se objevují docela často a je pěkné vědět, že pro ně máme vzorečky pro případ celých čísel q. Asi nejslavnější je

Důkaz je vlastně docela snadný a používá teleskopický efekt popsaný výše.

Vyšší mocniny mají komplikovanější vzorce a jsou méně populárnější, občas se dají potkat součty čtverců a kubik.

Důkazy jsou podobné a vyžadují znalost "nižších" sum, například součet čtverců se dělá takto.

 

Pro další příklady viz Přehled metod - Sčítání řad a Řešené příklady - Sčítání řad.


Approximace řad, chyba aproximace
Zpět na Teorie - Úvod k řadám