Mocninné řady

Mocninné řady jsou přirozeným zobecněním Taylorových polynomů. Víme, že Taylorovy polynomy dávají (pokud máme štěstí) aproximaci funkcí, která se zlepšuje, když bereme delší polynomy, takže se dá čekat, že nekonečné polynomy dají přesně funkci, ze které vzešly. Než se k tomuto vztahu dostaneme, budeme zkoumat mocninné řady jako takové, jinými slovy se budeme snažit vyznat v "nekonečných polynomech"; mají zajímavé a užitečné vlastnosti.

Definice.
Názvem mocninná řada se středem a rozumíme libovolnou řadu ve tvaru

kde a_k jsou reálná čísla.

Velice důležitým a užitečným pojmem jsou komplexní mocninné řady, což je mimo rozsah Math Tutoru; poznamenejme ale, že většina závěrů této sekce je pravdivá také v komplexním případě. Dokonce se občas na komplexní řadu odvoláme, protože některé pojmy jsou poněkud čitelnější ve více dimenzích.

Všimněte si, že obyčejný polynom může být také považován za mocninnou řadu. Například polynom 1 − 2x lze zapsat jako řadu ∑ a_kx^k, kde a₀ = 1, a₁ = −2 a a_k = 0 pro všechna k > 1. Musíme tedy myslet na to, že když mluvíme o mocninných řadách, tak můžeme také mít konečné polynomy. Některé věci jsou pak zásadně jednodušší, často triviální, například taková "konečná" řada vždy konverguje. Mimochodem, když máme polynom, tak podle výsledku o jednoznačnosti níže není žádný jiný způsob, jak jej vyjádřit coby mocninnou řadu, takže jej třeba nejde napsat jako "opravdu nekonečnou" řadu.

Zpět k mocninným řadám. Základní pojem - obor konvergence - se pro mocninné řady chová velice pěkně. Zatímco u obecných řad funkcí může být obor konvergence dost podivný, zde víme najisto, že tato množina je nejlepší možná - interval (v komplexní rovině kruh, obecně koule). Začneme následujícím pozorováním.

Fakt.
Uvažujme mocninnou řadu se středem a. Pokud existuje takové x₀, že daná řada v x₀ konverguje, pak tato řada konverguje absolutně ve všech x splňujících

|x − a| < |x₀ − a|.

To je zrovna případ, kdy mohou komplexní čísla (nebo body v rovině) pomoci v porozumění. Jestliže máme konvergenci v nějakém bodě x₀, tak dostaneme absolutní konvergenci na vnitřku kruhu se středem a, na jehož obvodu x₀ leží.

Řečeno jinak, tato řada nutně konverguje na okolí U(a) s poloměrem |x₀ − a|. V reálném případě se tato okolí objeví jako intervaly na reálné ose.

Všimněte si, že každá řada konverguje ve svém středu a. Ten Fakt ukazuje, že jestliže se s konvergencí dokážeme posunout z a ven (směrem od středu), pak také automaticky rozšiřujeme absolutní konvergenci. Jsou tři možné situace. Jedna je, že kromě středu a žádná konvergence není. I to se může stát. Další situace je, že dokážeme "posunout" konvergenci libovolně daleko od a, pak také dostaneme absolutní konvergenci všude. Třetí možnost je, že konvergenci "rozšíříme" jak jen to je možné od a, ale nemůžeme jít libovolně daleko, existuje mez, za kterou se nedostaneme. Pak dostaneme okolí (v komplexním případě kruh, v reálném případě interval okolo a) takové, že řada konverguje absolutně uvnitř a diverguje venku (kdyby byl byť jediný bod konvergence venku, tak by šlo podle Faktu také příslušně rozšířit obor konvergence).

Máme tedy následující tvrzení.

Tyto vzorce také zahrnují případy 1/0 = ∞ (nekonečný poloměr znamená konvergenci všude) a 1/∞ = 0 (nulový poloměr znamená konvergenci jen v a). Všimněte si, že nerovnost |x − a| < R popisuje okolí U_R(a), což je v našem případě interval (a − R,a + R). Všimněte si také, že tato věta neříká nic o tom, co se děje na hranici tohoto okolí, v našem případě v bodech a ± R. Tam nelze udělat žádné obecné tvrzení, každou řadu je třeba zkoumat individuálně.

Definice.
Uvažujme mocninnou řadu se středem a. Číslo R z věty výše se nazývá poloměr konvergence této řady.

Tu větu (včetně vzorců) jsme dostali takto. Danou mocninnou řadu jsme testovali na absolutní konvergenci pomocí vhodných kritérií a ukázalo se, že konvergence záleží na vzdálenosti od středu |x − a|. Z odmocninového kritéria se dostane ten první vzorec pro R, z podílového kritéria se dostane ten druhý vzorec pro R. Při zkoumání konkrétní řady většina lidí nepoužívá přímo ony vzorce, ale místo toho opakují postup s testováním konvergence, protože to může o řadě vypovědět víc a není to podstatně delší. Připomeňme, že při vyšetřování konvergence nepotřebujeme vědět, kde začíná indexace.

Příklad: Vyšetřete konvergenci řady

Použijeme podílové kritérium k vyšetření absolutní konvergence této řady.
Poznámka: K označení členů řady v podílovém kritériu použijeme A_k, protože tradiční a_k je v kontextu mocninných řad použito pro koeficienty, nikoliv pro celé členy řad.

(Připomeňme, že v posledním kroku jsme dělali limitu vzhledem ke k, x je zde nějaký pevně zvolený parametr.) Test teď ukazuje, že zkoumaná řada konverguje absolutně, jestliže |x − 1| < 1, a nekonverguje, jestliže |x − 1| > 1. Proto je poloměr konvergence R = 1, řada konverguje absolutně na U₁(1), tj. na (0,2), a diverguje vně ⟨0,2⟩.

Co můžeme říct o konvergenci v krajních bodech? To se musí zkoumat individuálně, všimněte si, že podílové kritérium dává pro x z hranice oboru konvergence lambda rovno 1, takže to nepomůže.

x = 0: Pak dostaneme řadu

Toto je harmonická řada, o které víme, že diverguje.

x = 2: Pak dostaneme řadu

Toto je alternující verze harmonické řady a podle Leibnizova kritéria konverguje, viz Konvergence obecných řad v části Teorie - Testování konvergence.

Závěr: Tato řada konverguje na oboru konvergence (0,2⟩. Její obor absolutní konvergence je (0,2).

Poznámka: Jak víme, že nemáme absolutní konvergenci v 2? Všimněte si, že když vezmeme řadu získanou s x = 2 a aplikujeme absolutní hodnotu na její členy, dostaneme řadu, kterou jsme zkoumali v krajním bodě x = 0 a tudíž dostaneme divergenci. Toto není náhoda. Krajní body mají souřadnice a ± R, když je dosadíme do dané řady a podíváme se na absolutní konvergenci, dostaneme pro oba stejný výraz:

∑ |a_k(a ± R − a)^k| = ∑ |a_k|⋅|±R|^k = ∑ |a_k|⋅R^k.

To znamená, že buď máme absolutní konvergenci v obou krajních bodech (pak tam také musíme mít konvergenci), nebo nemáme absolutní konvergenci v žádném. Z praktického pohledu to znamená, že pokud nemáme v obou krajních bodech konvergenci, tak krajní body automaticky nezahrnujeme do oboru absolutní konvergence. Ještě se k tomu vrátíme níže.

Příklad: Vyšetřete konvergenci řady

Použijeme podílové kritérium k vyšetření absolutní konvergence této řady.

Test říká, že zkoumaná řada konverguje absolutně, jestliže je lambda méně než 1, ale vidíme, že toto se stane vždy, bez ohledu na x. Máme tedy R = ∞ a obor konvergence je celá reálná osa (ta je také obor absolutní konvergence).

Příklad: Vyšetřete konvergenci řady

Použijeme odmocninové kritérium k vyšetření absolutní konvergence této řady.

Test říká, že zkoumaná řada konverguje absolutně, jestliže ró je menší než 1, ale vidíme, že to se stane jen pro 2x + 3 = 0. Proto R = 0 a obor konvergence se skládá ze středu řady, je to {−3/2}.

Poznámka: Daná řada nesplňuje definici mocninné řady, ale dá se na ni přepsat.

Teď vidíme, že střed je opravdu −3/2. Měli jsme aplikovat standardní postup na tento "správný" tvar, ale obvykle je poněkud jednodušší pracovat s danou řadou, jako jsme to dělali zde, a výsledky jsou stejné.

Vidíme, že ty tři případy diskutované výše (R kladné, R = 0, R = ∞) se opravdu mohou stát. S výjimkou toho posledního vytvoří typická mocninná řada funkci na kruhu (na okolí) se středem a. Podíváme se teď na některé vlastnosti mocninných řad a jejich důsledky pro funkce, které definují. Než se k tomu ale dostaneme, přidáme jedno tvrzení týkající se oboru konvergence.

Připomeňme Fakt výše, který v zásadě říká, že když máme v nějakém bodě konvergenci, tak už získáme konvergenci všude vevnitř kruhu až po tento bod (viz ten obrázek výše pro komplexní případ, je dost názorný). Pomocí tohoto jsme pak usoudili, že obor konvergence má tvar disku. Předpokládejme teď, že máme řadu s kladným (tedy i konečným) poloměrem konvergence. Pak nám ten Fakt (nebo Věta o poloměru konvergence) nedovolují říct nic o konvergenci na obvodu disku konvergence. A je k tomu dobrý důvod, v typickém případě máme někde na obvodu konvergenci a jinde divergenci, občas je to divergence všude nebo konvergence všude. Ukážeme teď, že onen diskutovaný Fakt lze zesílit, jestliže je konvergence v onom speciálním bodě "lepší".

Fakt.
Uvažujme mocninnou řadu se středem a. Pokud existuje takové x₀, že daná řada v x₀ konverguje absolutně, pak tato řada konverguje absolutně ve všech x splňujících

|x − a| ≤ |x₀ − a|.

Vyplývá z toho, že jestliže máme dokonce absolutní konvergenci v nějakém bodě obvodu kruhu konvergence, pak už máme konvergenci na celém obvodu.

Algebraické operace s řadami jsou definovány přirozeným způsobem, pomocí definice pro číselné řady, vzhledem k jejich tvaru je ale možné spojovat jen řady se stejným středem. Důležitý fakt je, že sčítání/násobení mocninných řad nezkazí konvergenci (pro Cauchyho součin to plyne z absolutní konvergence, kterou pro mocninné řady máme automaticky). Navíc jsou součty takových řad přesně tím, čím by měly být.

Věta.
Uvažujme mocninné řady

s poloměry konvergence po řadě R _f  a R_g. Pak platí následující.

(i) Součet těchto řad konverguje s poloměrem konvergence R ≥ min(R _f ,R_g) a

(ii) Pro reálné číslo c platí, že c-násobek řady konverguje se stejným poloměrem konvergence a

(iii) Cauchyho součin těchto řad konverguje s poloměrem konvergence R ≥ min(R _f ,R_g) a

Poznamenejme, že pokud jsou v části (i) poloměry R_f a R_g různé, pak se už R nutně rovná jejich minimu, viz tento příklad v části Řešené příklady - Řady funkcí. Vzorec pro Cauchyho součin je zcela přirozený, stačí si jej napst v dlouhém tvaru a je to jasné, pro jednoduchost použijeme střed 0.

[a₀ + a₁x + a₂x² + ...] ⋅ [b₀ + b₁x + b₂x² + ...] = (a₀b₀) + (a₀b₁ + a₁b₀)x + (a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀)x² + ...

Tato věta má jednu zajímavou interpretaci. Zvolme pevně jeden střed a, uvažujme množinu S všech posloupností {a_k}, které vytváří řadu se středem a a kladným poloměrem konvergence, a množinu F funkcí, které lze vyjádřit jako součet takových řad. První dvě tvrzení ve větě říkají, že obě množiny jsou lineární prostory a že operace v jednom prostoru odpovídají přirozeně operacím v druhém prostoru. Když formálně definujeme zobrazení

pak je toto zobrazení lineární. Jinými slovy, namísto funkcí (které jsou někdy trochu příliš komplikované, aby se s nimi dobře pracovalo), můžeme pracovat s posloupnostmi, které je reprezentují, a tato korespondence je nejlepší možná, zahrnuje i obvyklé lineární operace. Z algebraického pohledu jsou tedy oba prostory stejné. (Zde také potřebujeme vědět, že toto zobrazení je prosté, což je pravda díky výsledku o jednoznačnosti níže.)

Jak do toho zapadá to třetí tvrzení? Jestliže je funkce f zakódována posloupností {a_k} a funkce g je zakódována posloupností {b_k}, pak podle onoho tvrzení výše je součin f⋅g zakódován posloupností {c_k}, která je přesně konvolucí posloupností {a_k} a {b_k} (viz Operace s posloupnostmi v části Posloupnosti - Teorie - Úvod). Pokud bychom tedy chtěli rozšířit onu identifikaci mezi množinami S a F na násobení, pak bychom řekli, že množina F s obvyklým násobením odpovídá množině S s konvolucí. To naznačuje, že jsou situace, kdy je konvoluce přirozenou náhradou násobení. Připomeňme, že už dříve jsme poznamenali, že tato operace splňuje všechny obvyklé zákony, které rádi vidíme u násobení.

Větu můžeme symbolicky vyjádřit takto: Pokud zavedeme přiřazení f ∼ {a_k}, pak

cf ∼ c{a_k},
f + g ∼ {a_k} + {b_k},
f⋅g ∼ {a_k}*{b_k}.

Dají se také vyrobit vzorce pro další věci, které s funkcemi děláme, například pro substituci (mimochodem, dělení je popravdě řečeno dost drsné), ale to už je více svázáno s rozvojem funkcí, který probíráme v následující sekci.

Důležitým faktorem při práci s řadami funkcí je otázka stejnoměrné konvergence. Zde je situace asi nejlepší možná. Stačí se vyhnout hranici a jsme v pohodě.

Věta.
Uvažujme mocninnou řadu se středem a a poloměrem konvergence R > 0. Pak pro každé kladné r < R tato řada konverguje stejnoměrně na ⟨a − r,a + r⟩.

Obecněji, taková mocninná řada konverguje stejnoměrně na libovolném uzavřeném intervalu, který je podmnožinou (a − R,a + R). Níže (Abelova věta o konvergenci) ukážeme, že toto tvrzení lze ještě zesílit.

Jako obvykle, pokud použijeme jazyka okolí: "Mocninná řada konverguje stejnoměrně na libovolném uzavřeném okolí, které je obsaženo v oboru konvergence," dostaneme tvrzení, které platí také v jiných situacích (komplexní řady atd.).

Tato věta je dokonce ještě lepší, než se zdá na první pohled. Všimněte si, že dostáváme stejnoměrnou konvergenci tak blízko k hranici, jak jen chceme. Pokud si vezmeme libovolné x₀ z U_R(a), pak neleží na hranici a proto je toto konkrétní x₀ uvnitř. Proto se dá zvolit nějaké r, které je menší než R, ale pořád tak velké, aby U_r(a) už obsahovalo x₀, a dostaneme stejnoměrnou konvergenci na okolí x₀.

Krátce řečeno, dostáváme stejnoměrnou konvergenci okolo všech bodů uvnitř oboru konvergence, takže můžeme použít všechny ty pěkné vlastnosti, které jsme pro stejnoměrnou konvergenci měli (viz Řady funkcí) všude v oboru konvergence. Dostáváme tedy následující velice užitečné tvrzení.

Dá se to také říct takto. Je-li dána mocninná řada, můžeme ji derivovat člen po členu a poloměr konvergence se nezmění, konvergence zůstane pěkná a výsledek je logický: Když derivujeme člen po členu, dostaneme totéž, jako bychom derivovali funkci, která je řadou definována (odpovídající tvrzení platí i pro integrování). Fakt, že můžeme mocninné řady snadno a spolehlivě derivovat a integrovat, je jedním z hlavních důvodů pro jejich užitečnost a popularitu.

Všimněte si dvou věcí. Za prvé, v posledním výrazu napravo v (ii) jsme vynechali první člen v indexaci. Není to nutné, protože když je k = 0, tak se z prvního členu stane nula (což není žádné překvapení, derivace konstanty je nula); je tedy úplně jedno, jestli odpovídající index v sumě necháme nebo jej vynecháme. Ve většině případů nestojí za to nad tím přemýšlet a klidně to tam můžeme nechat, ale jsou situace, kdy by ponechání tohoto členu vedlo ke zmatkům. Je to na vás. Já se obvykle snažím vynechat z řad nepořádek, aby byly pěkně uklizené, párkrát už se to vyplatilo.

Za druhé, řady, kterou dostaneme po derivování a integrování, nejsou ve správném tvaru, na to je třeba udělat ještě posun v indexu.

Zase záleží na situaci, někdy se to dělá (například jestli chcete prezentovat výsledek v pěkném tvaru), ale v praxi to lidem většinou nestojí za to.

Poznámka: Ta věta nám umožňuje derivovat a integrovat řadu pouze uvnitř jejich oborů konvergence - a z dobrého důvodu. Jestliže mocninná řada také konverguje v nějakém krajním bodě svého oboru konvergence, pak tato konvergence nemusí přežít derivování či integrování. Jako ukázku se podívejte na první příklad výše, o té řadě jsme zjistili, že konverguje na intervalu (0,2⟩, mimo jiné konverguje v bodě 2. Když ji zderivujeme člen po členu, dostaneme

Je snadné ověřit, že tato řada už v bodě 2 nekonverguje.

Iterací věty zjistíme, že mocninné řady dávají funkce, které mají derivace všech řádů.

Teď si představme, že máme dvě řady se středem a, které konvergují a jejichž součty jsou si rovny na nějakém okolí bodu a. Napíšeme tuto rovnost řad a pak zderivujeme n krát na obou stranách, dostaneme nalevo a napravo výrazy jako v Důsledku. Když do této rovnice dosadíme x = a, většina členů řad zmizí a na každé straně zůstane jen jeden člen (zkuste to). Tak odvodíme následující tvrzení.

To mimo jiné znamená, že řada je jednoznačně dána svými hodnotami na nějakém okolí bodu a, třeba i velmi malém. Jakmile známe její hodnoty na nějakém malinkém okolí a, pak už jsou určeny i hodnoty v dalších bodech konvergence, dokonce i když řada konverguje všude.

To také znamená, že když máme polynom, tak jej není možné zapsat jinak, ani jako skutečně nekonečnou mocninnou řadu (se stejným středem, samozřejmě; při jiné volbě středu získáme jiné vyjádření pro tutéž funkci).

Poznámka o krajních bodech: Už jsme poznamenali, že konvergence řady v krajních bodech nemusí přežít derivování, takže jsme nemohli udělat nějaké obecné tvrzení v druhé a třetí části věty výše. To první tvrzení (o spojitosti) ale není nejlepší možné. Dá se vylepšit, což už nedostaneme automaticky ze stejnoměrné konvergence, ale máme na to speciální větu.

Dá se to shrnout takto.

Předpokládejme, že mocninná řada se středem a a poloměrem konvergence R > 0 konverguje na intervalu I (takže interval I určitě obsahuje (a − R,a + R), ale také může obsahovat jeden či oba krajní body). Pak je výsledná funkce f spojitá na I a konvergence této řady je stejnoměrná na libovolném uzavřeném intervalu J, který je podmnožinou I.

Takže pokud je I uzavřený, čili pokud daná řada konverguje na ⟨a − R,a + R⟩, pak také konverguje stejnoměrně na celé této množině.

Taylorovy řady, rozvoj funkcí
Zpět na Teorie - Řady funkcí