Taylorovy řady, rozvoj funkcí, sčítání řad

Zde se podíváme na hlavní otázku. Máme funkci f a číslo a a rádi bychom tuto funkci vyjídřili jako součet mocninné řady se středem a. Začneme teorií a pak se podíváme na rozvoj pomocí vlastností. Na závěr se podíváme na opačný proces, k dané řadě zkusíme najít její součet.

Jak už jsme pro obecný případ naznačili v sekci Systémy funkcí, jsou dvě otázky, které musíme zodpovědět: Které funkce lze takto vyjádřit a jak pro ně najdeme jejich řadu. První otázka je opravdu těžká, za chvíli dáme jen částečnou odpověď. Začneme definicí.

Definice.
Nechť f je funkce a a nějaký bod z vnitřku jejího definičního oboru.
Řekneme, že jsme funkci f rozvinuli v mocninnou řadu (v a), jestliže najdeme nějakou mocninnou řadu takovou, že

na nějakém okolí a.
Této mocninné řadě se pak říká rozvoj funkce f.

Z výsledků předchozí sekce vyplývá, že každá funkce, kterou lze takto rozvést, musí mít derivace všech řádů v a. To nám říká, že nemá smysl se pokoušet rozvíjet jiné funkce. Také to říká, že když mluvíme o rozvoji, máme všechny ty derivace k dispozici.

Počátečním bodem našeho zkoumání je Důsledek na konci předchozí sekce. Předpokládejme, že máme funkci, kterou lze vyjárdřit jako řadu v a. Jestliže dosadíme tento střed a do vzorce pro n-tou derivaci, okamžitě dostáváme následující.

Věta (jednoznačnost rozvoje).
Nechť f je funkce, kterou lze rozvinout v mocninnou řadu

na nějakém okolí bodu a. Pak pro každé k koeficient a_k nutně splňuje

Jinými slovy, existuje jen jeden způsob, jak rozvinout funkci v mocninnou řadu (pokud je to vůbec možné). Tato jedinečná řada si zasluhuje jméno.

Definice.
Nechť f je funkce a a nějaký bod z vnitřku jeho definičního oboru. Předpokládejme, že f má derivace všech řádů v a. Pak definujeme její Taylorovu řadu v a vzorcem

Vzoreček pro koeficienty je stejný jako v případě Taylorova polynomu, takže je to opravdu něco jako "nekonečný Taylorův polynom".

Všimněte si, že ta věta výše byla jen implikace. To znamená, že jakmile funkci rozvineme v mocninnou řadu, pak už ta řada musí nutně být Taylorovou řadou. Když ale vezmeme funkci se všemi derivacemi v a a vytvoříme Taylorovu řadu podle příslušného vzorce, tak už není zaručeno, že ta řada bude konvergovat někde jinde než v a, a i kdyby konvergovala, tak není jisté, zda bude konvergovat k původní funkci f. Například v této poznámce ukazujeme příklad funkce, která je "pěkná" podle většiny měřítek (má derivace všech řádů a všude), její Taylorova řada konverguje ke svému součtu stejnoměrně na celé reálné ose, ale přesto je součet této Taylorovy řady roven původní funkci jen v jednom bodě, ve středu řady (kde musí být rovnost pro všechny funkce a řady, takže nebylo na výběr). Situace, kdy máme problém přinutit řadu, aby šla na správné místo, se objevuje při práci se systémy funkcí často a přivádí nás k následujícímu značení.

Tilda znamená, že řada napravo byla získána z f pomocí vzorců výše (je to Taylorova řada pro f ), ale také to znamená, že tento proces vytváření řady byl čistě formální, v této chvíli nemáme žádné informace o tom, zda součet této řady má něco společného s f.

Naším cílem je samozřejmě změnit tuto tildu v rovnost, čili rádi bychom viděli, že Taylorova řada napravo konverguje k f alespoň někde (kromě a, kde je konvergence automatická). Jak se to dá poznat? Podle definice bychom měli vzít částečné součty T_N řady T a podívat se, zda konvergují k f.

Ekvivalentně řečeno, rádi bychom zjistili, jak se chovají rozdíly | f − T_N|, přitom doufáme, že půjdou k nule pro N jdoucí do nekonečna. Něco takového už jsme ale viděli, protože T_N je přesně Taylorův polynom (viz Derivace - Teorie - Aplikace), takže o tom rozdílu toho docela dost víme. Například pro něj máme Lagrangeův odhad. Můžeme tedy otázku přeformulovat následovně:

Předpokládejme, že f má derivace všech řádů na nějakém okolí U bodu a. Nechť je x takové, že uzavřený interval I s krajními body a a x leží v U. Chceme vědět, kdy je pravda, že

Všimněte si, že v tomto vzorci je x pevně zvoleno a proto je x − a konstanta. Když si připomeneme, že c^N/N! jde v nekonečnu k nule, tak vidíme, že všechno závisí na tom, jak rychle to maximum roste vzhledem k N. Pokud neroste vůbec nebo roste velice pomalu, pak jde Lagrangeův odhad chyby k nule. Dostaneme tedy následující.

Věta.
Nechť f je funkce taková, že má derivac všech řádů na nějakém okolí U bodu a. Nechť T je její Taylororova řada v a.
Jestliže existuje konstanta M taková, že | f ^(k)(t)| ≤ M^k pro všechna přirozená čísla k a všecha t z U, pak T konverguje (stejnoměrně) k f na U.

Dostáváme tedy skupinu funkcí, jejichž Taylorova řada je jim opravdu rovna, jmenovitě funkce se stejnoměrně omezenými derivacemi. Tato podmínka je nicméně příliš omezující, jsou také další funkce, jejichž Taylorova řada konverguje, kam má. Najít správnou charakterizaci je velice těžké, rozhodně za obzorem Math Tutoru, a necháme to profesionálním matematikům.

Jsou funkce, jejichž rozvoje najdeme velice snadno. Podle jednoznačnosti rozvoje jsou mocninné řady sami sobě Taylorovými řadami (se stejným středem). Rozvinout je s jiným středem než "vlastním" už tak snadné není, ale pořád to jde v případě řad "konečných", tedy polynomů. Tam jen stačí vytvořit správný střed. Pokud chceme například najít Taylorovu řadu pro x² se středem a = 1, tak prostě uděláme

x² = [(x − 1) + 1]² = (x − 1)² + 2(x − 1) + 1.

Ten poslední vzorec dává mocninnou řadu se středem 1 (její koeficienty jsou nulové pro k > 2) a tudíž je to ona žádaná Taylorova řada. (Samozřejmě bychom dostali stejnou řadu, pokud bychom použili vzorec z definice.) U řad nekonečných už bychom s takovými úpravami měli dost problém.

Teď se podíváme na šest slavných rozvojů, které jsou základem pro většinu dalších.

Jak tyto vzorce naznačují, volba a = 0 pro střed je velice populární. Je dokonce tak populární, že pro Taylorovy řady s tímto středem někteří lidé používají tradiční název McLaurinova řada. Není to ale univerzální a najde se to především ve starších textech.

Ve všech šesti případech se najde vzorec pro Taylorův polynom snadno z definice. Jak je to s jejich konvergencí? Druhý a třetí vzoreček je jasný, konvergence plyne s předchozí věty (sinus a kosinus mají všechny derivace všude omezené jedničkou).

Větu můžeme použít i pro exponenciálu, ale už ne globálně, protože exponenciála je omezená jen na omezených množinách. To ale není problém. Pokud si vezmeme libovolné reálné číslo x, tak můžeme uvažovat například otevřené okolí U_2|x|(0). To je omezená množina a všechny derivace funkce e^x jsou tam tedy stejnoměrně omezené, takže podle předchozí věty tam příslušná Taylorova řada konverguje k exponenciále; konverguje tedy k exponenciále také v x, protože x náleží do tohoto okolí. Pro úplnost ukážeme také přímý důkaz pomocí Lagrangeova odhadu, viz tato poznámka.

Rozvoj logaritmu lze získat více způsoby, vrátíme se k tomu také ještě níže; co se týče konvergence, zmíněný interval je evidentně největší, v jaký můžeme doufat, protože jsme v předchozí sekci dokázali, že je to přesně obor konvergence této Taylorovy řady. Zbývá ukázat, že součet řady na tomto oboru je přesně ln(x). Zde už ale nemůžeme použít předchozí větu, protože derivace nejsou stejnoměrně omezené. Tento případ je proto komplikovanější, pro detaily viz tato poznámka.

Pátý vzorec je prostě jen geometrická řada, takže na tom není nic nového.

Asi nejzajímavější z těch šesti je poslední vzorec, zvaný také binomická řada nebo binomický rozvoj. Platí pro všechna c a A, což mimo jiné znamená,že kombinační čísla lze také definovat pro obecné číslo A. Dělá se to podle toho druhého vzorce s tím, že když k = 0, tak dostaneme 1. Jako příklad si ukážeme, jak taková řada vypadá pro c = 1, což se používá často. Ukážeme si také speciální vzorec pro "mínus A", který je občas užitečný při práci z převrácenou hodnotou. Oba vzorce fungují pro |x| < 1.

Všimněte si také, že když je A přirozené číslo, tak podle definice jsou všechny koeficienty pro k > A nulové. Suma je tedy konečná, vždy konverguje a je to ten povědomý binomický vzorec, který známe ze střední.

Tyto vzorce jsou důležité třeba proto, že jen zřídka rozvíjíme funkce podle definice, jako jsme to dělali výše. Ve většině případů používáme různé triky, abychom získali ze známých rozvojů nové. Těch šest nahoře jsou východisky pro většinu takových výpočtů. Co se týče triků, teď se k nim dostaneme.

Abychom získali rozvoje nových funkcí ze známých rozvojů, používáme vlastnosti, které máme potvrzeny pro řady. Věta o algebraických operacích z předchozí sekce dává následující užitečný fakt.

Věta.
Předpokládejme, že máme následující rozvoje na nějakém okolí bodu a.

Pak na tomto okolí také máme

Jak je to s dělením f /g? Evidentně stačí vědět, jak rozvinout funkci 1/f (za předpokladu, že f (a) ≠ 0).

Věta.
Předpokládejme, že funkci f můžeme rozvinou v Taylorovu řadu v a a že f (a) ≠ 0. Pak lze také funkci 1/f rozvinout v Taylorovu řadu v a a tato řada má kladný poloměr convergence.

Tato věta nenabízí žádný vzorec pro onu novou řadu - a z dobrého důvodu, nedá se totiž žádným rozumným způsobem popsat. V praxi se používá metoda neurčitých koeficientů. Dá se vlastně přímo aplikovat na f /g a vzít 1/f jako speciální případ. Předpokládejme, že jak f tak g jsou rozvinuty ve své Taylorovy řady v a a že g(a) ≠ 0. Podle naší věty lze pak rozvinout i podíl v Taylorovu řadu se zatím neznámýmí koeficienty c_k. Můžeme psát

Výsledný systém nekonečně mnoha lineárních rovnic o nekonečně mnoha neznámých c_k se obvykle nedá řešit explicitně, ale dovolí nám vypočítat tolik koeficientů c_k, kolik chceme, což je velmi užitečné, když chceme aproximovat f /g pomocí konečné části Taylorovy řady. Pro příklad odkazujeme na Řešené příklady, jmenovitě tento příklad (je nezvykle pěkný, ale myšlenku ukazuje dobře) a tento příklad (ten už je typičtější).

Často také nacházíme vztah mezi funkcemi pomocí derivace a integrálu. Pak použijeme tuto větu z předchozí sekce.

Věta.
Předpokládejme, že máme následující rozvoj na nějakém okolí bodu a.

Pak na tomto okolí také

V druhém tvrzení se také dá použít neurčitý integrál, ale pak je třeba najít správnou konstantu. Ukážeme na to jeden příklad níže. Jsou ale i další operace, které mohou pomoci při rozvoji nových funkcí.

Třetí tvrzení je trochu problematické, protože výsledek je mocninná řada jen pro velmi speciální g. Obor konvergence se pak musí řešit individuálně.

U prvních dvou tvrzení můžeme dokonce i specifikovat obor konvergence nové řady. V prvním tvrzení je nový obor stejný jako ten původní, jen posunutý. V druhém případě se nový obor konvergence dostane smrsknutím původního, pro záporná A se také musí otočit kolem a. Jinými slovy, pokud původní řada konverguje v pravém krajním bodě, tak nová také konverguje v pravém krajním bodě pro A > 0 a konverguje v levém krajním bodě pro A < 0. Je to všechno jen selský rozum a dobré pochopení substituce.

Klíčem k tomuto rozvoji je pozorování, že f ′(x) = −1/(1 − x) a to je přesně součet geometrické řady, kterou všichni známe. Takže začneme se vzorcem pro geometrickou řadu (použijeme proměnnou t) a pak budeme integrovat obě strany od 0 do x

Tato řada se pro logaritmus používá často. Původní řada konverguje pro t splňující −1 < t < 1, takže ta nová také konverguje alespoň na této množině a její poloměr konvergence musí zůstat stejný (tj. 1). Mohli jsme ale získat konvergenci v některém krajním bodě. Když dosadíme x = −1 a x = 1 a použijeme vhodné testy, tak zjistíme, že obor konvergence této řady je ⟨−1,1). Jak víme, že součet této řady v x = −1 je roven ln(2)? Jedna možnost je použít spojitost, viz Abelova věta o konvergenci v předchozí sekci. Máme tedy rozvoj platný na ⟨−1,1).

Pokud tento výsledek zapíšeme pomocí y a pak použijeme substituci y = −x, dostaneme

Původní řada konverguje pro y splňující −1 ≤ y < 1, takže když za y dosadíme -x, dostaneme pro novou řadu obor konvergence (−1,1⟩.

Na druhou stranu, pokud dosadíme y = 1 − x, pak dostaneme přesně tu řadu pro ln(x), kterou jsme měli v oné Větě o rozkladech.

Vzhledem k potížím, které jsme měli s nalezením řady pro 1/f, je možná překvapující, že existuje explicitní způsob rozvoje inverzní funkce.

Tuto část uzavřeme ještě jedním užitečným tvrzením.

Věta.
Předpokládejme, že máme následující rozvoj na nějakém okolí bodu a.

Pak na tomto okolí také máme následující rozvoje.

(i) Pro každé přirozené číslo n,

(ii) Jestliže má f kořen násobnosti n v a, pak

Druhé tvrzení má smysl z následujícího důvodu. Jestliže je a kořenem násobnosti n pro f, pak je prvních n − 1 derivací f v a nula (viz tato poznámka). Proto je také prvních n − 1 koeficientů Taylorovy řady rovno nule, což znamená, že ve skutečnosti v řadě pro f indexy začínají v n, ne v 0. To vysvětluje, proč po posunu indexu dostaneme druhý vzorec.

Pro další příklady na použití výše popsaných vlastností k rozvoji funkcí viz Přehled metod a Řešené příklady - Řady funkcí.

Část o vlastnostech Taylorových řad uzavřeme jedním snadným faktem, který už se dal uhodnout z oné šestice rozvojů výše.

Už jsme několikrát zmínili, že sčítání řada bývá dosti obtížné. Výše popsané triky pro rozvoj funkce lze také použít k sečtení dané mocninné řady (za předpokladu, že máme štěstí). Základní myšlenka je, že změníme danou řadu v jinou, kterou už známe, pomocí transformací z probraných vět, přičemž si hlídáme, co to dělá s jejím součtem. Nejlépe se to vysvětlí na příkladě.

Příklad: Najděte součet řady

Existuje řada, která takto vypadá? Je řada, která má členy y^k/k, a my se dokážeme dostat téměř k ní tak, že označíme y = x + 1. Zbývá upravit mocninu tak, aby souhlasila s číslem ve jmenovateli, ale to není problém. Jdeme na to.

Jak je to s hodnotou x = −1? To je snadné, prostě ji dáme do dané řady a zjistíme, že f (−1) = 0.

Můžeme také zkusit jiný přístup. Často se potřebujeme zbavit k, které je v řadě navíc. V naší řadě máme přebytečné k + 1 ve jmenovateli, takže bychom ocenili, pokud by se k + 1 objevilo i v čitateli. Existuje způsob, jak dostat k do čitatele, jmenovitě zderivováním řady. My potřebujeme k + 1, takže před derivováním si tam potřebujeme vyrobit (x + 1)^k + 1. Jakmile se zbavíme dělení členem k + 1, použijeme geometrickou řadu.

Zbývá upřesnit to správné C. Nejsnadnější způsob je prostě dosadit nějaké pěkné x do poslední rovnosti. Protože nalevo dosazujeme do f neboli do dané řady, nemáme moc na výběr. Jediná hodnota, kterou do řady můžeme dát, je x = −1, ale bohužel to je právě hodnota, kterou v posledním řádku dosadit nemůžeme. Co se dá udělat?

Zdálo by se, že to můžeme vyřešit tím, že dosadíme do předposledního řádku. Při bližším pohledu to ale není pravda. Všimněte si, že když x = −1, pak na druhém řádku násobíme nulou, což není v rovnicích dovoleno. Pro tuto hodnotu jsou tedy všechny následující rovnosti podezřelé. Naštěstí pro nás se můžeme podívat ještě blíže. Co to na předposledním řádku máme? Jednu funkci nalevo a druhou napravo a jsme si jisti, že se rovnají pro všechna x z určitého intervalu s výjimkou jednoho bodu přesně uprostřed. Protože jsou tyto dvě funkce spojité, musíme pak mít rovnost i v tomto jednom bodě. Jsme zachráněni, dosadíme −1 do předposledního řádku a zjistíme, že C = 0. Protože jsme použili integraci, která ovlivňuje krajní body, měli bychom se teď ještě podívat na konvergenci v −2 a v 0 a dostali bychom stejný závěr jako předtím.

Fourierovy řady
Zpět na Teorie - Řady funkcí