Nejprve odvodíme Taylorovu řadu pro
Protože pro všechna přirozená čísla k je
Taylorova řada proto je
Teď si vezměme libovolné reálné číslo x. Použijeme Lagrangeův odhad zbytku k důkazu, že tato Taylorova řada konverguje k exponenciále ve zvoleném x. Jestliže označíme jako I uzavřený interval s krajními body 0 a x, dostaneme odhad
Teď potřebujeme vědět, kde je x. Jestliže
Použili jsme toho, že v nekonečnu faktoriál roste rychleji než geometrická
posloupnost, viz
škála mocnin.
Pro záporná x tedy máme konvergenci
Když
Takže také pro kladná x máme tu konvergenci.
Všimněte si, že když zvolíme pevně nějaký interval,
Stejným argumentem jako dříve dokážeme, že tento odhad chyby jde k 0 pro
N jdoucí do nekonečna, což dokazuje, že tato Taylorova řada pro
exponenciálu konverguje stejnoměrně k