Taylorova řada pro exponenciálu

Nejprve odvodíme Taylorovu řadu pro f (x) = ex se středem a = 0.
Protože pro všechna přirozená čísla k je k-tá derivace rovna f (k)(x) = ex, koeficienty jsou

Taylorova řada proto je

Teď si vezměme libovolné reálné číslo x. Použijeme Lagrangeův odhad zbytku k důkazu, že tato Taylorova řada konverguje k exponenciále ve zvoleném x. Jestliže označíme jako I uzavřený interval s krajními body 0 a x, dostaneme odhad

Teď potřebujeme vědět, kde je x. Jestliže x = 0, pak T(0) = 1 = e0. Jestliže x < 0, pak je interval I roven x,0⟩, a protože je exponenciála rostoucí, maximum nastane v 0 a má hodnotu e0 = 1. Proto

Použili jsme toho, že v nekonečnu faktoriál roste rychleji než geometrická posloupnost, viz škála mocnin. Pro záporná x tedy máme konvergenci T(x) k ex dokázánu.

Když x > 0, tak je interval I roven ⟨0,x a maximum rostoucí exponenciály je v x. Proto

Takže také pro kladná x máme tu konvergenci.

Všimněte si, že když zvolíme pevně nějaký interval, ⟨-A,A⟩, tak dostaneme společný odhad chyby pro všechna x z tohoto intervalu.

Stejným argumentem jako dříve dokážeme, že tento odhad chyby jde k 0 pro N jdoucí do nekonečna, což dokazuje, že tato Taylorova řada pro exponenciálu konverguje stejnoměrně k ex na ⟨-A,A⟩.