\chyph  % formát csplain

\font\bbf=\fontname\tenbf\space scaled\magstep2
\parindent=0pt
\parskip=\bigskipamount

{\bbf Otázky ke zkoušce \uv{Úvod do algebry}}

10. 1. 1999, \qquad Petr Olšák

{\bf Poznámka.} V~písemné části zkoušky budou dvě teoretické otázky. Je
tedy málo pravděpodobné, že nutný poloviční počet bodů získáte jen
počítáním příkladů. Doporučuji podívat se i na teoretické otázky a pečlivě
se na ně připravit. V~tomto přehledu uvádím skupinu otázek a problémů,
které se především objeví v~teoretické části. Z~důvodu stručnosti jsou zde
formulovány problémy mnohdy nepřesně, ale na písemce i v~ústní části to
napravíme. Tam bude zadání obsahovat všechy vstupní předpoklady
odpovídající vybranému problému.


Polynomy, jednoznačnost částečného podílu polynomů.
Hornerovo schéma,
poslední řádek Hornerova schématu pro polynom $P$ a hodnotu $c$ obsahuje
koeficienty polynomu $R$, kde $P(x)=(x-c)\,R(x) + P(c)$, proč?
Proč jsou komplexní kořeny polynomů s~reálnými koeficienty komplexně sdružené?
Je-li $c/d$ kořen polynomu s~celočíselnými koeficienty, proč $c$ dělí
absolutní člen?

Rozklad racionální funkce na parciální zlomky, popis algoritmu.

Lineární závislost/nezávislost (LZ/LN) aritmetických vektorů.
Proč $\{a_1,\ldots,a_n\}$ jsou LZ právě tehdy, když existuje $a_i$, které
je lineární kombinací ostatních? Přidám-li k~LZ množině vektor, zůstává LZ;
uberu-li z~LN množiny vektor, zůstává LN, proč?
Proč předchozí tvrzení neplatí po záměně znaků LZ$\leftrightarrow$LN?
Dokažte z~definice, že dva vektory jsou LZ právě tehdy, když jeden je
násobkem druhého.

Hodnost matice. Proč prohození řádků a vynásobení řádku nenulovou
konstantou nemění hodnost matice? Na sčítání řádků se raději ptát nebudu.
Popište Gaussovu eliminační metodu. Operace s~maticemi. Definujte součin
matic. Jakého typu musí být matice $A$, $B$, $C$, aby bylo definováno
$A\cdot(B\cdot C)$? Dokažte, že platí $A\cdot(B\cdot C) = (A\cdot B)\cdot
C$. Proč při násobení (ani čtvercových) matic neplatí komutativní zákon?

Determinant matice. Odvoďte z~definice Sarrusovo pravidlo. Dokažte
z~definice jednoduché věty o~determinantech: jak se změní determinant matice
při prohození řádků, vynásobení řádku konstantou, sečtení řádků. Věta
o~rozvoji determinantu podle řádku (bez důkazu), Lapaceova věta
(bez důkazu).

Inverzní matice. Dokažte jednoznačnost a pro regulární matice existenci
inverzní matice. Proč pro singulární matice inverzní matice neexistuje?
Nechť $A$ je regulární a $E$ jednotková; dokažte, že $(A|E)\sim(E|A^{-1})$,
kde \uv{$\sim$} představuje konečně mnoho řádkových úprav z~Gaussovy
eliminační metody. Lze v~průběhu eliminace při výpočtu inverzní matice
střídat řádkové a sloupcové úpravy? Proč?

Formulujte Frobeniovu větu a dokažte ji. Proč množina řešení homogenní
soustavy lin. rovnic tvoří lin. podprostor? Jak souvisí dimenze prostoru
řešení homogenní soustavy s~hodností matice soustavy a s~počtem proměnných?
Zdůvodněte. Proč stačí k~vyjádření všech řešení soustavy lin. rovnic znát
jediné partikulární řešení a prostor řešení přidružené homogenní soustavy?
Nechť máme dvě různá partikulární řešení a dvě různé báze prostoru řešení
přidružené homogenní soustavy; jak poznáme, že popisují stejnou množinu
řešení?

Lineární prostor. Zdůvodněte z~definice základní vlastnosti:
$x+o=x, \forall x\in L$, $\alpha o = o, \forall\alpha\in L$. Ověřte
z~definice, že množina spojitých funkcí, polynomů, komplexních čísel, atd.
s~běžně definovanými operacemi tvoří lineární prostor. LZ/LN
podmnožin lin. prostoru (i nekonečných). Příklady LZ a LN množin funkcí.
Lineární obal. Proč $\langle M\rangle = \langle\langle M\rangle\rangle$?
Lineární podprostor (LPP). Ukažte z~definice LPP, že množina všech polynomů
nebo všech polynomů nejvýše $n$-tého stupně je LPP prostoru všech funkcí na
{\bf R}. Proč množina polynomů právě $n$-tého stupně není LPP? Proč množina
singulárních matic ($n\times n$) není LPP prostoru všech matic typu
($n\times n$)? $M$ je LPP nějakého lin. prostoru právě tehdy, když $\langle
M\rangle = M$, dokažte.

Báze lineárního (pod)prostoru. Ukažte, že každé dvě konečné báze stejného
lin. prostoru mají stejný počet prvků. Dimenze (pod)prostoru. Ukažte, že
pro $M$ LPP prostoru $L$ je $\dim M\leq\dim L$. Nechť $M$ je LPP
lin. prostoru $L$ a $\dim M =\dim L$ jsou konečné; pak $L=M$, dokažte.
Ukažte, proč předchozí tvrzení neplatí pro nekonečnou dimenzi.
Nechť $M, N$ jsou LPP; ukažte, že $M\cup N$ nemusí být LPP, ale $M\cap N$
je LPP. Souřadnice vektoru vzhledem k~uspořádané bázi, jednoduché příklady.
Matice přechodu a její vlastnosti. Dokažte vzorec pro transformaci
souřadnic od jedné báze k~druhé prostřednictvím matice přechodu. Není zde
důležitá přesně stejná terminologie, jako byla použita na přednášce, ale
je potřeba prokázat pochopení problematiky. Proč je matice přechodu vždy
regulární?

Lineární zobrazení. Ukažte, že princip superpozice je nutná a postačující
podmínka linearity zobrazení. Ker$\,\cal A$, def$\,\cal A$, hod$\,\cal A$.
Nechť ${\cal A}(f)=f'$ na lin. prostoru diferencovatelných funcí; jak
vypadá Ker$\,\cal A$, def$\,\cal A$, hod$\,\cal A$? Další jednoduché
příklady. Nechť je dáno zobrazení ${\cal B}: {\rm báze}\,L_1\to L_2$,
pak existuje jediné lineární zobrazení ${\cal A}: L_1\to L_2$, které má na
bázi $L_1$ stejné hodnoty jako $\cal B$. Dokažte existenci i jednoznačnost.
Proč lin. zobrazení zobrazuje vždy LZ množinu z~$L_1$ do LZ množiny
v~$L_2$, ale nemusí zobrazit LN množinu do LN množiny? Matice $A$
zobrazení $\cal A$ vzhledem ke konečným bázím $B$ a $C$. Dokažte vzorec pro
transformaci souřadnic vzoru na souřadnice obrazu $\cal A$ pomocí matice
přechodu $A$. Dokažte, že hod$\,{\cal A} = {\rm hod}\,A$. Dokažte, že
$\dim L_1 = {\rm def}\,{\cal A} + {\rm hod}\,{\cal A}$.

Skalární součin. Definici nemusíte znát podle přednášky (tam zazněla
definice i pro nekonečnou dimenzi), ale stačí podle skript (dimenze~3 a
předpoklad možnosti změřit úhel mezi vektory). Nicméně, definice podle
přednášky je vítána. Vlastnosti skalárního součinu. Velikost vektoru, úhel
mezi vektory. Proč platí trojúhelníková nerovnost. Dokažte Pythagorovu větu
formulovanou pro lin. prostor se skalárním součinem. Ortogonální,
ortonormální báze. Dokažte vzorec pro výpočet skalárního součinu ze
souřadnic vektorů vzhledem k~ortonormální bázi. Orientace báze. Pokud
$B$ a $C$ jsou souhlasně orientovány a $C, D$ rovněž, pak též $B$ a $D$
jsou souhlasně orientovány, proč?

Bodový prostor a prostor volných vektorů, kartézský souřadný systém,
přímka, rovina, charakteristika vzájemných poloh dvou přímek, přímky a
roviny a dvou rovin. Odvození vzorce pro plochu rovnoběžníka, objem
rovnoběžnostěnu, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost mimoběžek,
rovnoběžných přímek a rovin, úhlu mezi různoběžkami a mezi dvěma rovinami.

Kromě dvou teoretických příkladů budou v písemné části tři příklady na
počítání z těchto oblastí: determinanty,
soustavy lineárních rovnic (především s parametrem), operace s~maticemi,
příklady na analytickou geometrii v rozsahu témat uvedených 
v~předchozím odstavci. Všech pět příkladů bude hodnoceno stejným počtem
bodů. 

\end