K301 Dept. of Mathematics         
Česká verze

Mirko Navara, Petr Olšák:

Basics of Fuzzy Sets

(in Czech)
Czech Technical University, Prague, 2nd revised edition, 2007, 150 pp., 58 figures.
Price: 144 CZK

(1st edition: 2002, 136 pp., 55 figures. Price: 83 CZK)

Abstract

This textbook should give mathematically correct and concise information about fuzzy sets and their properties. It is not intended as a substitute of specialized courses in fuzzy control, fuzzy modelling, or fuzzy logic, but it builds up a foundation for their study.

The basic notions are presented with emphasis on the representation of fuzzy sets by cuts. Fuzzy propositional and set operations are studied in detail (including a brief summary of aggregation operators). Then specific constructions with fuzzy sets are introduced, as well as properties of fuzzy relations and operations with fuzzy numbers. One chapter is devoted to basic notions and ideas of fuzzy propositional logic. The principles of fuzzy control are summarized and areas of applications are outlined. Emphasis is put on a mathematically correct presentation with exercises (both solved and unsolved), with brief historical remarks.

The primary purpose of the textbook is to facilitate education in fuzzy sets in undergraduate and postgraduate courses. It is also intended as a handbook for a wide range of users of fuzzy techniques and readers concerned in this modern field. The only prerequisities are basic courses of mathematical logic and calculus at a level of the first course of a technical university.

Czech information follows:


Doc. Ing. Mirko Navara, RNDr. Petr Olšák:

Základy fuzzy množin

Abstrakt

Skriptum vzniklo na základě přednášek Fuzzy logika a Matematika 6F konaných na FEL ČVUT od r. 1996. Jeho základním cílem je poskytnout kvalifikovanou informaci o vlastnostech fuzzy množin. Nesnaží se nahradit specializované kurzy o fuzzy řízení, fuzzy modelování nebo fuzzy logice, ale poskytnout k nim základ o něco podrobnější než v dosud vydaných českých pramenech.

Po výkladu základních pojmů, s důrazem na reprezentaci fuzzy množin pomocí řezů, jsou studovány fuzzy výrokové a množinové operace, doplněné o kapitolu o agregačních operátorech. Dále jsou uvedeny specifické konstrukce s fuzzy množinami, vlastnosti fuzzy relací a operace s fuzzy čísly. Jedna kapitola je věnována základním pojmům a myšlenkám fuzzy výrokové logiky. V závěru jsou nastíněny základní principy fuzzy řízení a možných aplikací fuzzy množin. Je kladen důraz na matematicky korektní výklad doplněný o příklady (řešené i neřešené) a stručné historické poznámky.

Kniha je určena studentům magisterského i doktorandského studia, ale měla by být pomůckou i pro širší okruh uživatelů fuzzy metod i zájemců o tuto problematiku. Vyžaduje znalost základů logiky a matematiky v rozsahu zhruba prvního ročníku technické vysoké školy.

Technické poznámky

Skripta vyšla v září 2002 ve Vydavatelství ČVUT, Zikova 4, Praha 6. Mají 136 stran a 55 obrázků. Cena byla vydavatelstvím stanovena na 79 Kč, později zvýšena na 83 Kč.

Druhé doplněné vydání skript vyšlo v dubnu 2007 ve stejném vydavatelství. Skriptum je doplněno o kapitolu s řešeními všech příkladů. Cena 144 Kč.

Odkazy

Obsah

1. Základní pojmy 6
1.1. Některé problémy klasické teorie množin a motivace zavedení fuzzy množin 6
1.2. Druhy neurčitosti 7
1.3. Základní pojmy z teorie množin 9
1.4. Charakteristická funkce 10
1.5. Základní pojmy teorie fuzzy množin 11
1.6. Popis fuzzy množin pomocí řezů 13
1.7. Fuzzy inkluze, řezová konzistence 19
1.8. Historické a bibliografické poznámky 20
1.9. Cvičení 21
2. Operace s fuzzy množinami 23
2.1. Ostré množiny 23
2.2. Analogie pro operace s fuzzy množinami 23
2.3. Fuzzy negace 24
2.4. Fuzzy konjunkce (trojúhelníkové normy) 30
2.5. Fuzzy disjunkce (trojúhelníkové konormy) 44
2.6. Historické a bibliografické poznámky 51
2.7. Cvičení 52
3. Další vlastnosti logických spojek 55
3.1. Fuzzy výrokové algebry 55
3.2. Fuzzy implikace 58
3.3. Fuzzy biimplikace (ekvivalence) 63
3.4. Historické a bibliografické poznámky 63
3.5. Cvičení 64
4. Fuzzy relace 65
4.1. Binární relace v~klasické teorii množin 65
4.2. Fuzzifikace binárních relací 66
4.3. Řezová konzistence fuzzy relací 75
4.4. Relace blízkosti jako příklad fuzzy ekvivalence 77
4.5. Projekce a cylindrické rozšíření 79
4.6. Historické a bibliografické poznámky 83
4.7. Cvičení 83
5. Princip rozšíření a fuzzy aritmetika 86
5.1. Rozšíření binárních relací na ostré množiny 86
5.2. Princip rozšíření binárních relací na fuzzy množiny 88
5.3. Konvexní fuzzy množiny 93
5.4. Fuzzy čísla a fuzzy intervaly 94
5.5. Binární operace s fuzzy čísly 95
5.6. Historické a bibliografické poznámky 102
5.7. Cvičení 103
6. Fuzzy logika 104
6.1. Syntaxe základní logiky 104
6.2. Sémantika základní logiky 108
6.3. Věta o úplnosti 111
6.4. Další typy fuzzy logik 112
6.5. Racionální Pavelkova logika 116
6.6. Historické a bibliografické poznámky 118
6.7. Cvičení 118
7. Aplikace fuzzy logiky 120
7.1. Základní principy fuzzy řízení 120
7.2. Další témata 124
8. Řešení příkladů 126
9. Literatura 142
8.1. Základní 142
8.2. Další odkazy 143
9. Rejstřík 147

Datum poslední aktualizace: 2. 4. 2007