% Fuzzy logika, přednášky.     Mirko Navara, Petr Olšák
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% sjednotit znaceni zlomku?
% doplnit literaturu
% prolinkovat vety a literaturu
% desetinne tecky nahradit carkami
% doplnit vlnky
% 

\chyph % použijte formát csplain

\exhyphenpenalty=10000
\lineskiplimit = -2.5pt

\font\bbf=csbx12
\font\bigf=csbx12 scaled\magstep3
\let\putlogocvut=\relax
\let\ttsmall=\tentt
\let\rmsmall=\tenrm

\newif\iftwoside 
\newcount\kapnum \newcount\secnum \newcount\rcenum \newcount\numlink
\newcount\objnum \newcount\litnum
\newdimen\kapdimen \newdimen\picunit
\newwrite\fileref \newwrite\fileidx \newread\testin

\def\beglink#1{}
\def\endlink{}
\def\aimlink#1{}
\def\urllink#1{{\tt#1}}
\def\zalozka#1{} \let\kapzalozka=\zalozka
\def\Brown{}\def\Black{}\def\Blue{}
\let\malyfont=\relax

%%%%%%%%%% Kapitola, záhlaví, sekce %%%%%%%%%%%%%%%

\def\ifnextchar#1#2#3{\let\tznak=#1\def\bodyA{#2}\def\bodyB{#3}%
    \futurelet\znak\testuj}
\def\testuj{\ifx\znak\tznak\let\next=\bodyA\else\let\next=\bodyB\fi\next}
\def\kapitola{\advance\kapnum by 1 \secnum=0 \rcenum=0 \objnum=0
    \ifnextchar[{\kaplabel}{\def\dolink{}\inkapitola}}
\def\inkapitola #1 | #2 \par {\vfil\break
    \bigskip
    \xdef\headtext{\iftwoside\the\kapnum. \fi#1}%
    \mark{}\global\headline={\hfil\starthead}
    {\let~=\relax 
     \immediate\write\fileref{\string\refkapitola{\the\pageno}{#1}}}
    \noindent\raise15pt\hbox{\kapzalozka{#2}\dolink}%
    \kreslikap{\the\kapnum}{#1}%
    \bigskip}
\def\kaplabel[#1] {\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax
      \expandafter\xdef\csname c:#1\endcsname {\the\kapnum}%
      \def\dolink{\aimlink{c:#1}}%
   \else\errmassage{duplikace labelu [#1]}%
   \fi \inkapitola}
\def\kreslikap #1#2{\setbox0=\hbox
    {\llap{\bbf#1\if|#1|\else.\fi\hskip.7em}\bbf #2\vphantom{y}}%
    \kapdimen=\wd0\box0\par
    \nobreak\Blue\medskip\hrule height2pt width\kapdimen\relax\Black}
\def\starthead{\global\headline={\vbox{%
   \iftwoside\ifodd\pageno
      \line{\it \hfil\firstmark}%
   \else
      \line{\it \headtext\hfil}%
   \fi\else
      \line{\it \headtext\hfil\firstmark}%
   \fi
   \medskip\hrule}}}

\def\sekce{\advance\secnum by1
   \ifnextchar [{\seclabel}{\def\dolink{}\isekce}}
\def\isekce #1\par{\removelastskip\vskip24pt\penalty-1000
   \mark{\the\kapnum.\the\secnum. #1\unskip}
   \write\fileref{ \space\string\refsekce{\the\pageno}{#1}}
   \noindent\raise15pt\hbox{\zalozka{#1}\dolink}%
   \kreslisekci{\the\kapnum.\the\secnum}{#1}%
   \nobreak\medskip\nobreak}
\def\seclabel[#1] {{\let\objnum=\secnum \ulozlabel[#1]}\isekce}
\def\kreslisekci#1#2{{\bf \llap{#1.\hskip.7em}#2}\par}

\def\nospace{\let~=\relax}
\let\orieqalign=\eqalign

\output={\let~=\relax \plainoutput}

%%%%%%%%%% Obsah %%%%%%%%%

\def\tocfill{\leaders\hbox{ . }\hfill}
\def\refkapitola#1#2{\advance\kapnum by1 \secnum=0
  \medskip
  \line{{\bf\the\kapnum. #2} \tocfill\space#1}}
\def\refsekce#1#2{\advance\secnum by1
  {\hangindent=6em
  \noindent\hskip3em \the\kapnum.\the\secnum. #2 \tocfill\space#1\par}}
\def\softinput #1 {\let\next=\relax \openin\testin=#1
  \ifeof\testin \message{VAROVÁNÍ: proveďte "csindex -s \jobname.icf
  -z il2 \jobname" a TeXujte ještě jednou.}%
  \else \closein\testin \def\next{\input #1 }\fi
  \next}  
\def\delejobsah{\bgroup \kapnum=0 \mark{}
  \def\cbr{\unskip\hfil\break}%
  \noindent \raise15pt\hbox{\kapzalozka{OBSAH}}%
  \kreslikap{}{Obsah}\bigskip
  \softinput \jobname.ref
  \ifx\nooutput\undefined \immediate\openout\fileref\jobname.ref
  \else \gdef\fileref{-1}\fi
  \egroup}
\let\cbr=\relax

%%%%%%%%%% Číslované objekty (definice, věta, důkaz, příklad) %%%%%%%%%%

\def\numero{\global\advance\objnum by1 \the\kapnum.\the\objnum}
\def\dalsiodstavec#1{\removelastskip\medskip\goodbreak
   \noindent{\bf \if|#1|\numero.\else#1.\fi\ }\barva
   \ifnextchar[{\ulozlabel}{\ignorespaces}}
\def\ulozlabel[#1]{%
   \immediate\write\fileref{\space\space\space\space
      \string\setlabel[#1]{\the\kapnum.\the\objnum}}%
   \expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax
     \expandafter\edef\csname c:#1\endcsname {\the\kapnum.\the\objnum}%
     \vbox to0pt{\vss\hbox{\aimlink{c:#1}}\kern15pt}%
   \fi \mymark{{\ttsmall[\escapechar=-1 \expandafter\string\csname#1\endcsname]}}%
   \ignorespaces}
\def\setlabel[#1]#2{\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax
     \expandafter\gdef\csname c:#1\endcsname{#2}%
   \else \errmessage{Duplikace labelu [#1]}%
   \fi}
\def\definice{\def\konec{\removelastskip\medskip}\dalsiodstavec{Definice~\numero}}
\def\tabulka{\def\konec{\removelastskip\medskip}\dalsiodstavec{Tabulka~\numero}}
\def\poznamka{\let\konec=\medskip\dalsiodstavec{Poznámka~\numero}}
\def\veta{\let\konec=\endveta\def\barva{\Blue}%
   \ifnextchar({\nazvanaveta}{\dalsiodstavec{Věta~\numero}}}
\def\tvrzeni{\let\konec=\endveta\def\barva{\Blue}%
   \ifnextchar({\nazvanaveta}{\dalsiodstavec{Tvrzení~\numero}}}
\def\nazvanaveta(#1) {\dalsiodstavec{Věta \numero~(#1)}}
\def\dukaz{\def\konec{\noindent\hfill\ctverecek\medskip}%
   \removelastskip\medskip\noindent{\bf Důkaz. }}
\def\priklad{\let\konec=\medskip
   \ifnextchar({\nazvanypriklad}{\dalsiodstavec{Příklad~\numero}}}
\def\nazvanypriklad(#1) {\dalsiodstavec{Příklad \numero~(#1)}}
\def\res{\removelastskip\medskip\noindent{\bf Řešení. }}
\def\dusledek{\let\konec=\endveta\def\barva{\Blue}\dalsiodstavec{Důsledek~\numero}}
\def\endveta{\par\nobreak \removelastskip
   \vskip-\baselineskip \hbox{\Black} \def\barva{}\medskip}
\def\obrazek{\let\konec=\medskip\dalsiodstavec{Obrázek~\numero}}
\def\cvic{\let\konec=\medskip\dalsiodstavec{Příklad~\numero}} 
\def\ctverecek{%
   \vbox{\hrule\hbox to6pt{\vrule height5pt\hfil\vrule}\hrule}}
\def\cviceni{\sekce Cvičení\par}
\def\vysl#1{}
\def\reseni #1 {\def\numero{#1}%
   \let\konec=\medskip\dalsiodstavec{}\raise15pt\hbox{\kapzalozka{#1}}}

\def\picfile#1#2{\par\nobreak \message{WARNING: The picture #2 is not inserted.}
   \medskip \hbox{... TADY BUDE OBRAZEK #2 ...}}
\def\pictext #1 #2 #3{}
\def\piccenter#1#2#3{\line{\hss\vbox{\picfile{#1}{#2}#3}\hss}}

\let\small=\relax
\let\endsmall=\relax
\def\setfontsize #1{}

%%%%%%%%%% Odkazy %%%%%%%%%%%%%

\def\barva{}
\def\zvednicil#1{\vbox to0pt{\vss\hbox{\raise15pt\hbox{#1}}}}
\def\rce(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax
     \global\advance\rcenum by1
     \expandafter\xdef\csname r:#1\endcsname {\the\kapnum.\the\rcenum}%
     \zvednicil{\aimlink{r:#1}}%
   \else\errmessage{duplikace labelu rce(#1)}%
   \fi  \eqno \hbox{(\the\kapnum.\the\rcenum)}}
\def\lab(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax
     \expandafter\xdef\csname r:#1\endcsname {#1}%
     \zvednicil{\aimlink{r:#1}}%
   \else\errmassage{duplikace labelu rce(#1)}%
   \fi {\rm(#1)}}
\def\bod(#1){({\rm#1})&\quad}
\let\em=\it
\def\nospace{\bgroup\let~=\egroup}
\def\cite{\ifnextchar({\citerce}{\citeodst}}
\def\citeodst[#1]{\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax ~??%
      \message{WARNING: \string\cite[#1]: undefined label.}%
   \else ~\beglink{c:#1}\csname c:#1\endcsname\endlink\fi}
\def\citerce(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax ~(??)%
      \message{WARNING: \string\cite(#1): undefined label.}%
   \else ~\beglink{r:#1}(\csname r:#1\endcsname)\endlink\fi}

\newcount\itemnum \newcount\tabradky
\newdimen\sirkapolicka  \sirkapolicka=28pt
\def\tabule #1 #2 {\par
   \hbox\bgroup \offinterlineskip\def\radky{#1}\def\sloupce{#2}%
   \vbox\bgroup \readvpasek}
\def\readvpasek #1 {%
   \hbox to\sirkapolicka
      {\vrule width0pt height 13pt depth 7.5pt\hss\if.#1\else#1\fi\hss}%   
   \advance\tabradky by1
   \ifnum\tabradky<\radky
      \let\next=\readvpasek
   \else 
      \def\next{\hrule height0pt\egroup \vbox\bgroup\hbox\bgroup\readhpasek}%
   \fi\next}
\def\readhpasek #1 {\hbox to\sirkapolicka{\hss\if.#1\else#1\fi\hss}\kern.4pt
   \advance\itemnum by1
   \ifnum\itemnum<\sloupce
      \let\next=\readhpasek
   \else \def\next{\egroup\smallskip\hrule\radektab}\fi\next}
\def\radektab{\ifnum\tabradky<\radky 
    \advance\tabradky by1   
    \hbox\bgroup \vrule height 13pt depth 7.5pt
       \let\next=\makeitem
   \else \def\next{\egroup\egroup}\fi \next}
\def\makeitem#1 {\advance\itemnum by1
   \ifx!#1\vbox{\hrule height 1.5pt 
       \hbox to\sirkapolicka{\vrule height 11.5pt depth 6pt width1.5pt\hss
          \vrule width1.5pt}
       \hrule height 1.5pt\vskip-7.5pt}%
   \else
     \hbox to\sirkapolicka{\hss\ifx.#1\else#1\fi\hss}%
   \fi\vrule
   \ifnum\itemnum<\sloupce 
      \let\next=\makeitem
   \else \def\next{\egroup\hrule\radektab}\fi \next
}


%%%%%%%%%%% makra pro pdfTeX %%%%%%%%%%%%%%%%

\ifx\pdfoutput\undefined \else 
\pdfcompresslevel=9
\def\pdfsetcmykcolor#1{\special{PDF:#1 k}}
\def\Blue{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.9 0.1 0}}
\def\Red{\pdfsetcmykcolor{0.1 0.9 0.9 0}}
\def\Brown{\pdfsetcmykcolor{0 0.85 0.87 0.5}}
\def\Green{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.1 0.9 .3}}
\def\Black{\pdfsetcmykcolor{0 0 0 1}}
\def\restorebarva{\ifx\barva\empty\Black\else\barva\fi}
\def\em{\leavevmode\aftergroup\restorebarva\Red\it}
\pdfinfo{/Author (Mirko Navara, Petr Olsak)
         /CreationDate (/\the\month/\the\year) 
         /ModDate (\the\day. \the\month. \the\year)
         /Creator (TeX)
         /Producer (pdfTeX)
         /Title (Zaklady fuzzy mnozin - prednasky)
         /Subject (ucebni text)
         /Keywords (fuzzy logika)
}
\ifx\pdfannotlink\undefined
   \let\pdfannotlink=\pdfstartlink
\fi
\def\beglink#1{%          % Začátek textu odkazu, #1 je klíč odkazu
   \Green \pdfannotlink height9pt depth3pt 
     attr{/Border[0 0 0]} goto name{#1}\relax}
\def\endlink{\pdfendlink\ifx\barva\empty\Black\else\barva\fi}  
\def\aimlink#1{%          % Místo cíle odkazu, #1 je klíč odkazu
   \pdfdest name{#1} fith\relax}
\def\urllink#1{\pdfannotlink height 10pt depth 3pt 
   user{/Border[0 0 0]/Subtype/Link/A << /Type/Action/S/URI/URI(#1)>>}\relax
   \Green{\tt #1}\Black\pdfendlink}
\def\zalozka#1{\global\advance\numlink by1
   \pdfdest num\numlink fith\relax
   {\let~=\space\pdfoutline goto num\numlink {\space\space#1}}}
\def\kapzalozka#1{\global\advance\numlink by1
   \pdfdest num\numlink fith\relax
   {\let~=\space\pdfoutline goto num\numlink {#1}}}  
\pdfcatalog{/PageMode /UseOutlines}\relax


\fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% konec maker pro pdfTeX %%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%% Matematické zkratky %%%%%%%%%%%%%%%%%

\let\phi=\varphi \let\epsilon=\varepsilon
\def\mem#1{\mu_{#1}}    % membership function
\def\memb#1{\mu_{#1}}   % membership function (brackets needed)
\let\subs=\subseteq
\def\P{{\cal P}}
\def\kde{:\;}
\def\je{:\enspace}
\def\dop#1{\overline{#1\,}}
\let\AND=\wedge \let\OR=\vee \let\NOT=\neg
\let\IMPL=\Rightarrow  \let\EQ=\Leftrightarrow
\def\carky{\thinmuskip=\thickmuskip}
\def\lint{\langle}
\def\rint{\rangle}
\def\ui{\lint 0,1\rint }
\def\fu{fuzzy množin}
\def\F{{\cal F}}
\def\supp{\mathop{\rm Supp}}
\def\core{\mathop{\rm core}}
\def\R{{\bf R}} \def\N{{\bf N}} \def\Z{{\bf Z}} \def\Q{{\bf Q}}
\def\tryrm#1{\if i#1#1\else\if h#1#1\else {\rm#1}\fi\fi}
\def\indexf#1{\if.#1{\vbox to 2pt{\kern-4pt\hbox{.}\vss}}\else
   {\vbox to0pt{\vss\hbox{$\scriptscriptstyle\tryrm#1$}\kern2.7pt}}\fi}
\def\indexu#1{\if.#1{\vbox to 2pt{\kern2pt\hbox{.}\vss}}\else
   {\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle\tryrm#1$}\kern-2.7pt}}\fi}
\def\notf#1{\mathop{\NOT}\limits_\indexf{#1}}
\def\capf#1{\mathbin{\mathop{\cap}\limits_\indexf{#1}}}
\def\cupf#1{\mathbin{\mathop{\cup}\limits^\indexu{#1}}}
\def\orf#1{\mathbin{\mathop{\OR}\limits^\indexu{#1}}}
\def\andf#1{\mathbin{\mathop{\AND}\limits_\indexf{#1}}}
\def\circf#1{\mathbin{\mathop{\circ}\limits_\indexf{#1}}}
\def\bigwedgedot{\mybigop\mybigw.}
\def\bigwedgeluk{\mybigop\mybigw L}
\def\bigwedgeS{\mybigop\mybigw S}
\def\bigveedot{\mybigop\mybigv.}
\def\bigveeS{\mybigop\mybigv S}
\def\bigcupdot{\mybigop\mycup.}
\def\mybigop#1#2{\mathop{\mathchoice{#1#2\displaystyle}
   {#1#2\textstyle}{#1#2\scriptstyle}{#1#2\scriptscriptstyle}}\nolimits}
\def\mybigw#1#2{\vcenter{\hbox{$#2\bigwedge\limits_\indexf{#1}$}\kern-.5em}}
\def\mybigv#1#2{\vcenter{\kern-.5em\hbox{$#2\bigvee\limits^\indexu{#1}$}}}
\def\mycup#1#2{\vcenter{\kern-.5em\hbox{$#2\bigcup\limits^\indexu{#1}$}}}
\def\luk{\L ukasie\-wicz}
\def\implf#1#2{\mathbin
   {\mathop{{\rightarrow}\vphantom{\vee}}%
   \limits^{\indexu{#1}\kern3pt}_{\indexf{#2}\kern3pt}}}
\def\eqf#1#2{\mathbin
   {\mathop{{{\leftarrow}\kern-8pt{\rightarrow}}\vphantom{\vee}}\limits^\indexu{#1}_\indexf{#2}}}
\let\epsilon=\varepsilon
\def\bodik{{}\par\noindent\hbox to\parindent{\hss$\bullet$\hss\hss}}
\let\begitems=\medskip \let\enditems=\medskip
\let\rel=\relax
\def\rezR{{\cal R}} \def\rezS{{\cal S}}
\def\0{{\bf 0}}
\def\1{{\bf 1}}
\def\Min{\mathop{\hbox{Min}}}
\def\?{\kern.1em?}
\def\bcdot{\lower-.4ex\hbox{\bf.}\kern1pt}

\def\ctvr #1{\mathbin{% ctvereček jako binární operace
   \mkern 2mu
   \vbox{\hrule\hbox to#1{\vrule height#1\hss\vrule}\hrule}}
   \mkern 2mu }
\def\sq{\mathchoice {\ctvr{4.3pt}}   {\ctvr{4.3pt}}
                    {\ctvr{2.6pt}} {\ctvr{2pt}}}
\def\incirc#1{\if.#1\cdot\else#1\fi}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Design pro skripta %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\openin\testin=fuzzydef
\ifeof\testin 
  \message{WARNING: The dessign definition file not found, I~use
           default design}
\else
  \closein\testin
  \input fuzzydef
\fi

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\kapnum=9

\kapitola Řešení příkladů |
          Reseni prikladu

Toto je volně šířená příloha ke skriptům 
{\it Navara, Olšák: Základy fuzzy množin}, Vydavatelství ČVUT, 2002.
Viz též {\tt http://math.feld.cvut.cz/skripta/fuzzy.html}. 

\reseni 1.34
%
$h(A)=1$, $\supp(A)=\{3,4,5,6,7,8\}$, $\core(A)=\{3\}$, 
$\mathop{\rm card}(A)=3{,}2$.
$$
  \rezR_A (\alpha) =
  \cases { X, \hbox{univerzum není v~příkladu dáno} & pro $\alpha=0$, \cr
           \supp(A)      & pro $\alpha\in(0;0{,}2\rangle$, \cr
           \{3,5,6,7,8\} & pro $\alpha\in(0{,}2;0{,}3\rangle$, \cr
           \{3,6,7,8\}   & pro $\alpha\in(0{,}3;0{,}4\rangle$, \cr
           \{3,7,8\}     & pro $\alpha\in(0{,}4;0{,}6\rangle$, \cr
           \{3,7\}       & pro $\alpha\in(0{,}6;0{,}7\rangle$, \cr
           \{3\}         & pro $\alpha\in(0{,}7;1\rangle$. }
$$

\reseni 1.35
%
$h(A)=1$, $\supp(A)=(10,\infty)$, $\core(A)=\emptyset$,
$$
  \rezR_A (\alpha) =
  \cases { \R & pro $\alpha=0$, \cr
           \left(10, 10 + \sqrt{{1\over\alpha}-1}\,\right\rangle &
                                      pro $\alpha\in(0,1)$, \cr
           \emptyset & pro $\alpha=1$. }
$$

\reseni 1.36
%
$h(A)={2\over3}$, $\supp(A)=\left(3-{\pi\over2}, 3+{\pi\over2}\right)$,
$\core(A)=\emptyset$,
$$
  \rezR_A (\alpha) =
  \cases { \R & pro $\alpha=0$, \cr
           \left\langle 3 - {\mathop{\rm arccos} (3\alpha-1) \over2} ,
                 3 + {\mathop{\rm arccos} (3\alpha-1) \over2} \right\rangle &
                pro $\alpha\in\left(0, {2\over3} \right\rangle$, \cr
           \emptyset & pro $\alpha\in\left( {2\over3}, 1\right\rangle$. }
$$

\reseni 1.37
%
$$
  \mem A(x) = \cases { 0 & pro $x<0$, \cr
                       \sqrt{x\over2} + {1\over2} & 
                           pro $x\in\left\langle0,{1\over2}\right)$,\cr
                       1 & pro $x\in\left\langle{1\over2},1\right)$,\cr
                       {3-x\over2} & pro $x\in\langle 1,3\rangle$, \cr
                       0 & pro $x>3$. }
$$

\reseni 1.38
%
$\core(A)=\{0\}$, $h(A)=1$, $\supp(A)=(-2,2)$,
$$
  \mem A(x) = \cases { 0 & pro $x\not\in(-2,2)$, \cr
                       1-\sqrt{|x|\over2} & pro $x\in(-2,2)$. }
$$

\reseni 1.39
%
$A = \{ (1; 1), (2; 0{,}7), (3; 0{,}2) \}$, $A\in\F(\{1,2,3,4\})$,
$\mathop{\rm card}(A) = 1{,}9$.  

\reseni 1.40
%
$$
  \mem A(x) = \cases { 0 & pro $x\not\in(3,7)$, \cr
                       1 - \left|5-x\over2 \right|^{1/p} & pro $x\in(3,7)$. }
$$
Pro $p=1$ je grafem \uv{rovná střecha}, pro $p=2$ je grafem
\uv{prohnutá střecha} (dvě konvexní části) a pro $p={1\over2}$
je grafem \uv{vypouklá střecha} (dvě konkávní části).

\reseni 1.41
%
a) Není systémem řezů, protože neplatí (R2) věty~1.14 (monotonie
   systému řezů).
  
b) Není systémem řezů, protože neplatí (R3) věty~1.14. Průnik
otevřených intervalů \hskip0pt plus 5cm\penalty0 \hskip0pt plus -5cm
$\left( 5-2\,(1-\alpha)^p;\;5+2\,(1-\alpha)^p\right)$
pro $\alpha < \beta$ je uzavřený interval.

\reseni 1.42
%
$\alpha$-řez nemusí být uzavřená množina, může to být otevřená množina.
Například $\rezR_A(1/2)=(0,1)$ pro
$$
  \mem A(x) = \cases { 0 & pro $x\not\in(0,1)$, \cr
                       1 & pro $x\in(0,1)$. }
$$
Je-li funkce příslušnosti spojitá, pak podle definice řezu~(1.1)
je každý řez uzavřená množina (vzor uzavřeného obrazu spojité funkce
je uzavřená množina).

\reseni 1.43
%
Pouze (R2). Místo (R1) platí $\rezS_A(1) = \emptyset$ a místo
(R3) platí $\rezS_A(\beta) = \bigcup\limits_{\alpha>\beta} \rezS_A(\alpha)$.

\reseni 2.96
%
Nechť $e_1 \leq e_2$ jsou dvě rovnovážné hodnoty. Podle (N1)
musí $\notf. e_1=e_1 \geq \notf. e_2=e_2$, tedy $e_1=e_2$.

\reseni 2.97
%
Předpokládejme:
$\notf1= i\circ\mathord{\notf S}\circ i^{-1}$,
$\,\notf2= j\circ\mathord{\notf 1}\circ j^{-1}$, tj.
$\,\notf2= j\circ i\circ \mathord{\notf S} \circ i^{-1} \circ j^{-1}$.

Je-li $\notf1$ fuzzy negace a $j$ je rostoucí bijekce, pak existuje rostoucí
bijekce $i$ a $\notf2$ je generována rostoucí bijekcí $j\circ i$
ze standardní negace. Tj.~$\notf2$ je fuzzy negace.

Obráceně: Jsou-li $\notf1$ a $\notf2$ fuzzy negace, pak $j\circ i$ je
rostoucí bijekce a také $i$ je rostoucí bijekce. Potom 
$j=j\circ i\circ i^{-1}$ je rostoucí bijekce, která generuje
fuzzy negaci $\notf 2$ z fuzzy negace $\notf 1$.
 
\reseni 2.98
%
(N1): Pro $\alpha\leq\beta$ a $\lambda>-1$ ověříme 
      ${1-\beta \over 1+\lambda\beta} \buildrel?\over\leq
       {1-\alpha \over 1+\lambda\alpha}$, to je ekvivalentní
      s~nerovností $(1-\beta)\,(1+\lambda\alpha) \buildrel?\over\leq
       (1-\alpha)\,(1+\lambda\beta)$ a to je ekvivalentní
      s~$(\lambda+1)\,\alpha \buildrel?\over\leq (\lambda+1)\,\beta$,
      a to zjevně platí.

(N2):
$$
   {1-{1-\alpha\over1+\lambda\alpha}\over 
    1+\lambda\,{1-\alpha\over1+\lambda\alpha}} =
   {{1+\lambda\alpha-1+\alpha \over 1+\lambda\alpha} \over
    {1+\lambda\alpha+\lambda-\lambda\alpha \over 1+\lambda\alpha}} =
    {(\lambda+1)\,\alpha \over \lambda+1} = \alpha 
$$


\reseni 2.99
%
Podle (2.1):
$$
  i(\alpha) = {\alpha + \notf S {1-\alpha \over 1+\lambda\alpha} \over2} =
  {\alpha + 1 - {1-\alpha \over 1+\lambda\alpha} \over2} =
  {1\over2}\, {(1+\alpha)\,(1+\lambda\alpha) - 1 + \alpha 
  \over 1+\lambda\alpha} = 
  {1\over2}\, {2\alpha + \lambda\alpha + \lambda\alpha^2 
  \over 1+\lambda\alpha}
$$

\reseni 2.100
%
Musí podle (N2) platit $\bigl(1-(1-\alpha)^w\bigr)^w = \alpha$.
Pro $w=0$ to není splněno. Po úpravě: 
$1-\alpha^{1/w} = (1-\alpha)^w $ vidíme, že to je splněno jen pro
$w=1$.

\reseni 2.101
%
Pro jednoduchost zvolme $\alpha=e$ (rovnovážná hodnota) a 
$$
\mem A(x) = \cases {0 & pro $x<0$, \cr
                    x & pro $x\in\langle 0, 1\rangle$, \cr
                    1 & pro $x>1$. }
$$
Pak je $\rezR_A(\alpha) = \langle e, \infty)$ a 
$\rezR_{\dop A}(\alpha) = (-\infty, e\rangle$. Tyto dva intervaly si nejsou
vzájemně doplňkem, protože oba obsahují bod $e$. Při 
$\alpha \not= e$ se interval $\rezR_{\dop A}(\alpha)$ od doplňku intervalu
$\rezR_A(\alpha)$ liší ještě výrazněji.

\reseni 2.102
%
(T1): zřejmé, (T2):
$$
  \alpha\mathop{\triangle}(\beta\mathop{\triangle}\gamma) =
  {\alpha\,{\beta\gamma\over 2-\beta-\gamma+\beta\gamma} \over
   2-\alpha +
   (\alpha-1)\,{\beta\gamma\over 2-\beta-\gamma+\beta\gamma}} =
  {\alpha\beta\gamma \over
   4-2\alpha-2\beta-2\gamma+\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma
   +\alpha\beta\gamma} 
$$
Totéž vychází pro
$(\alpha\mathop{\triangle}\beta)\mathop{\triangle}\gamma$.

(T3):
$$
  {\partial \over \partial\beta}\, 
  {\alpha\beta \over 2-\alpha-\beta+\alpha\beta} =
  {\alpha\,(2-\alpha-\beta+\alpha\beta) - \alpha\beta\,(-1+\alpha) \over
  (2-\alpha-\beta+\alpha\beta)^2} =
  {\alpha\,(2-\alpha) \over (2-\alpha-\beta+\alpha\beta)^2} \geq 0
$$

(T4): 
$$
  {\alpha\cdot 1 \over 2-\alpha-1 + \alpha} = \alpha.
$$

Je archimédovská: 
$$
  {\alpha^2 \over 2-\alpha-\alpha-\alpha^2} =
  {\alpha^2 \over 1 + (1-\alpha)^2} < \alpha^2 < \alpha \quad
  \hbox{pro } \alpha \in (0,1).
$$

Je striktní, protože 
${\partial (\alpha\mathop{\triangle}\beta)/ \partial\beta} > 0$ pro $\alpha\not=0$.
Není tedy nilpotentní.

\reseni 2.103
%
(S1): zřejmé. (S2):
$$
\eqalign{
  \alpha \orf. (\beta \orf. \gamma) &=
  \bigl(\alpha^w + (\beta^w+\gamma^w-\beta^w\gamma^w)^{{1\over w}\,w} 
        - \alpha^w \,(\beta^w+\gamma^w-\beta^w\gamma^w)^{{1\over w}\,w}
  \bigr)^{1\over w} = \cr
  & = \bigl(\alpha^w + \beta^w + \gamma^w - 
   \alpha^w \beta^w - \alpha^w \gamma^w - \beta^w\gamma^w +
   \alpha^w \beta^w \gamma^w \bigr)^{1\over w}
}
$$
To samé vychází pro $(\alpha \orf. \beta) \orf. \gamma$.

(S3):
$$
\eqalign{
  {\partial \over \partial\beta}\, 
  (\alpha^w + \beta^w - \alpha^w \beta^w)^{1\over w} &=
  {1\over w}\, (\alpha^w + \beta^w - \alpha^w \beta^w)^{{1\over w}-1}\,
  (\alpha^w + w \beta^{w-1} - w \alpha^w \beta^{w-1}) = \cr
  &= {1\over w}\, 
  \bigl(\alpha^w + \beta^w\,(1 - \alpha^w)\bigr)^{{1\over w}-1}\,
  \bigl(\alpha^w + w \beta^{w-1}\,(1-\alpha^w)\bigr) \geq 0
}
$$  

(S4): $(\alpha^w + 0^w - \alpha^w \cdot 0^w)^{1\over w} = \alpha$.

Jiný postup: jedná se o fuzzy disjunkci generovanou ze součinové
disjunkce rostoucí bijekcí $i(\alpha)=\alpha^w$.

Je archimédovská a striktní, viz větu~2.78.

\reseni 2.104
%
\par\nobreak\vskip-2.5\baselineskip
$$
\eqalign{
  \notf S (\notf S \alpha \andf L \notf S \beta) &=
  1 - \max (1-\alpha+1-\beta-1,0) = 
  1 - \max (1-\alpha-\beta, 0) = \cr 
  &= \min (\alpha+\beta,1) = \alpha \orf L \beta \cr
  \notf S (\notf S \alpha \andf P \notf S \beta) &=
  1 - (1-\alpha)\,(1-\beta) = 1 - (1-\alpha-\beta+\alpha\beta) =
   \alpha + \beta - \alpha\beta = \cr
  &= \alpha \orf P \beta \cr
}
$$
$$
\eqalign{
  \notf. (\notf. \alpha \andf S \notf. \beta) &=
  \notf. \min(\notf.\alpha, \notf.\beta) \buildrel\rm (N1)\over=
  \max (\notf.\notf.\alpha, \notf.\notf.\beta) \buildrel\rm (N2)\over=
  \max (\alpha, \beta) = \cr
  &= \alpha \orf S \beta \cr
  \notf. (\notf. \alpha \andf D \notf. \beta) &=
  \left.\cases { \notf.(\notf.\alpha) = \alpha & 
           pro $\notf.\beta = 1$, tj. $\beta = 0$ \cr
           \notf.(\notf.\beta) = \beta & 
           pro $\notf.\alpha = 1$, tj. $\alpha = 0$ \cr
           \notf.0 = 1 & pro ostatní případy }\right\} 
  = \alpha \orf D \beta
}
$$

Předpokládejme navíc 
$\alpha\andf2\beta = \notf.(\notf.\alpha \orf. \notf.\beta)$. Pak:
$$
  \alpha\andf2\beta = \notf.(\notf.\alpha \orf. \notf.\beta) =
  \notf.\notf.(\notf.\notf.\alpha \andf. \notf.\notf.\beta) 
  \buildrel \rm(N2)\over=
  \alpha\andf.\beta
$$
takže nemusíme ověřovat dualitu znovu od~disjunkce směrem ke konjunkci.


\reseni 2.105
%
Šotek: nejedná se o předchozí příklad ale o příklad 2.103.
$$
\eqalign{
  \notf{Y_w} ( \notf{Y_w}\alpha \orf. \notf{Y_w}\beta) &=
  \notf{Y_w} \bigl(1-\alpha^w+1-\beta^w - 
                   (1-\alpha^w)\,(1-\beta^w) \bigr)^{1\over w} =
  \notf{Y_w} \bigl(1-\alpha^w\beta^w \bigr)^{1\over w} = \cr
  &= \bigl(1-(1-\alpha^w\beta^w)\bigr)^{1\over w} = 
  \alpha\beta = \alpha \orf P \beta \,.
}
$$

\reseni 2.106
%
1. Nechť $r>0$:
$$
  i_r(\alpha) = {\alpha \over r+(1-r)\,\alpha} = x, \quad \hbox{tj.}\quad
  i^{-1}_r(x) = {rx \over 1+(r-1)\,x}\,.
$$
$$
\eqalign{
  \alpha \andf{H_r} \beta &= 
  i_r^{-1} \left( {\alpha \over r+(1-r)\,\alpha} \cdot  
                {\beta \over r+(1-r)\,\beta} \right) =
   {r\,{\alpha \over r+(1-r)\,\alpha} \,{\beta \over r+(1-r)\,\beta}
   \over 1 + (r-1)\,
   {\alpha \over r+(1-r)\,\alpha} \,{\beta \over r+(1-r)\,\beta}} = \cr
   &= {r\alpha\beta \over 
    \bigl(r+(1-r)\,\alpha\bigr)\,\bigl(r+(1-r)\,\beta\bigr) +
     (r-1)\,\alpha\beta} =
   {r\alpha\beta \over 
     r\,(r{+}\alpha{+}\beta{-}r\alpha{-}r\beta{-}\alpha\beta{+}r\alpha\beta)} = \cr
  &= {\alpha\beta \over r + (1-r)\,(\alpha+\beta-\alpha\beta)}\,. 
}  
$$

2. Nechť $r=0$. Předpokládejme nejprve $\alpha\not=0$, $\beta\not=0$.
$$
  i_0(\alpha) = e^{-c\,{1-\alpha\over\alpha}} = x, \quad \hbox{tj.}\quad
  i^{-1}_0(x) = {c\over c-\ln x}\,.
$$
$$
  \alpha \andf{H_0} \beta =
  i_0^{-1} \left( 
  e^{-c\,{1-\alpha\over\alpha}} \cdot e^{-c\,{1-\beta\over\beta}}
  \right) =
  {c \over c + c\,\left({1-\alpha\over\alpha} + {1-\beta\over\beta}\right)}
  = {1 \over 1 + {\beta\,(1-\alpha) + \alpha\,(1-\beta) \over \alpha\beta}}
  = {\alpha\beta \over \alpha+\beta-\alpha\beta}\,.
$$
Pro $\alpha=0$ nebo $\beta=0$ je $\alpha \andf{H_0} \beta = 0$, což je
v souladu s~tím, že $i_0^{-1} (0) = 0$.

Pro $r=2$ dostáváme fuzzy konjunkci z~příkladu~2.102.

\reseni 2.108
%
$\andf{H_1} = \andf P$ vychází snadno po dosazení. Dále je pro
$\alpha\not=1$ a $\beta\not=1$ 
$$
  \lim_{r\to\infty} {\alpha\beta \over r + (1-r)\,(\alpha+\beta-\alpha\beta)}
  = 0
$$
a pro $\alpha = 1$ je 
${\alpha\beta \over r + (1-r)\,(\alpha+\beta-\alpha\beta)} = \beta$.
Podobně pro $\beta = 1$ vychází $\alpha \andf{H_\infty} \beta =
\alpha$. To odpovídá drastické konjunkci.
%
Poznámka: hodnoty konjunkcí pro $\alpha=1$ nebo $\beta=1$
vyplývají také přímo z~podmínky~(T4).

\reseni 1.109
%
Předpokládejme:
$\alpha\andf1 \beta = i^{-1}\bigl(i(\alpha) \andf P i(\beta)\bigr)$,
$\alpha\andf2 \beta = j^{-1}\bigl(j(\alpha) \andf 1 j(\beta)\bigr)$,
tj.
$$
  \alpha\andf2 \beta = j^{-1}\bigl(i^{-1}\bigl(
   i(j(\alpha)) \andf P i(j(\beta))\bigr)\bigr)\,.
$$

Je-li $\andf1$ striktní fuzzy konjunkce a $j$ je rostoucí bijekce, 
pak existuje rostoucí bijekce~$i$ a $\andf2$ je generována rostoucí 
bijekcí $j\circ i$ ze součinové konjunkce. Tj.~$\andf2$ je striktní
fuzzy konjunkce.

Obráceně: Jsou-li $\andf1$ a $\andf2$ striktní fuzzy konjunkce, 
pak $j\circ i$ je rostoucí bijekce a také $i$ je rostoucí bijekce. Potom 
$j=j\circ i\circ i^{-1}$ je rostoucí bijekce, která generuje
striktní fuzzy konjunkci $\andf 2$ z konjunkce $\andf 1$.

\reseni 2.110
%
Jako v 2.109. Pouze zaměníme $\andf P$ za $\andf L$ a slovo striktní
za slovo nilpotentní. Místo věty~2.42 pak použijeme větu~2.46.

\reseni 2.111
%
Nechť $\andf.$ je fuzzy konjunkce a $\notf.$ je fuzzy negace. Ověříme, že
$\alpha \orf. \beta = \notf. (\notf.\alpha \andf. \notf.\beta)$ 
je fuzzy disjunkce. Komutativita je zřejmá.
(S2):
$$
\eqalign{
  \alpha \orf. (\beta \orf. \gamma) &= 
  \alpha \orf. \notf. (\notf.\beta \andf.\notf.\gamma) =
  \notf. \bigl(\notf.\alpha \andf. 
   \notf.\notf.(\notf.\beta\andf.\notf.\gamma)\bigr) 
  \buildrel \rm(N2)\over=
  \notf. \bigl(\notf.\alpha \andf. (\notf.\beta\andf.\notf.\gamma) \bigr)
  \buildrel \rm(T2)\over= \cr
  &= \notf. \bigl( (\notf.\alpha \andf. \notf.\beta) \andf.\notf.\gamma\bigr)
   = \cdots = (\alpha \orf. \beta) \orf. \gamma
}
$$

(S3): Nechť $\beta\leq\gamma$, tj. $\notf.\beta\geq\notf.\gamma$. Pak platí:
$$
  \notf.(\alpha\orf.\beta) = \notf.\alpha \andf. \notf.\beta 
  \buildrel \rm (T3)\over \geq \notf.\alpha \andf. \notf.\gamma =
  \notf.(\alpha\orf.\gamma), \quad \hbox{tj.}\quad
  \alpha\orf.\beta \leq \alpha\orf.\gamma\,.
$$

(S4): $\alpha \orf. 0 = \notf.(\notf.\alpha \andf. \notf. 0) =
\notf. (\notf.\alpha \andf. 1) \buildrel \rm (T4)\over= 
\notf.\notf.\alpha \buildrel \rm (N2)\over= \alpha$.

U~fuzzy konjunkce odvozené z~fuzzy disjunkce postupujeme analogicky.

\reseni 2.112
%
Řezová konzistence má v tomto případě tvar: 
$\rezR_A(\alpha) \cap \rezR_B(\alpha) = \rezR_{A\capf.B} (\alpha)$,
pro všechna $\alpha\in(0,1\rangle$.
$$
\eqalign{
  \rezR_A(\alpha) \cap \rezR_B(\alpha) &= 
  \bigl\{ x;\, (\mem A(x) \geq \alpha) \AND (\mem B(x) \geq \alpha) \bigr\} = 
  \bigl\{ x;\, \min \bigl(\mem A(x), \mem B(x)\bigr) \geq \alpha \bigr\}
  \buildrel (1)\over= \cr
  &= \bigl\{ x;\, \mem A(x) \andf S \mem B(x) \geq \alpha \bigr\}
  = \rezR_{A\capf S B} (\alpha)\,.
}
$$
Pro jiný než standardní průnik nemusí být splněna rovnost (1).

Podobnou úvahu bychom udělali pro sjednocení.

\reseni 3.44
%
Šotek: Yagerova konjunkce je ve skutečnosti tvaru:
$$
  \alpha\andf{Y_w}\beta = \max \left(1-\bigl((1-\alpha)^w + 
     (1-\beta)^w\bigr)^{1\over w}, 0\right).
$$
a nikoli jak bylo uvedeno v odstavcích 2.28 nebo 2.81.

Dále je zřejmé, že Yagerovy operace se standardní negací 
{\it nesplňují} zákon kontradikce ani zákon vyloučeného třetího. Stačí
zvolit $w=2$ a $\alpha={1\over2}$:
$$
  \alpha \andf{Y_w} \notf S \alpha =
  \max \left(1-\left({1\over4}+{1\over4}\right)^{1\over2}, 0\right) =
  1 - {1\over\sqrt 2} \not= 0\,.
$$
$$
  \alpha \orf{Y_w} \notf S \alpha =
  \min \left( \left( {1\over4}+{1\over4}\right)^{1\over2}, 1\right) =
  {1\over\sqrt 2} \not= 1\,.
$$

\reseni 3.45
%
Ovšemže všechny vzorečky pro $\alpha\in\{0,1\}, \beta\in\{0,1\}$ 
se shodují s~klasickou implikací.

\reseni 3.46
%
\vskip-2.5\baselineskip
$$
\eqalign{
  \alpha \andf L (\alpha\implf RL \beta) &=
  \max \bigl(\alpha + (\alpha\implf RL \beta) - 1, 0\bigr) =
  \max \bigl(\alpha + \sup\{\gamma:\, \alpha+\gamma-1 \leq \beta\}
                                              - 1, 0\bigr) = \cr
  &= \left.
     \cases { \max(\alpha+1-1,0) = \alpha & pro $\alpha\leq\beta$\cr
              \max(\alpha+1-\alpha+\beta-1,0) = \beta &
                                            pro $\alpha>\beta$}
     \right\}
  = \min (\alpha, \beta) = \alpha \andf S \beta \,. \cr
  \alpha \andf S (\alpha\implf RS \beta) &=
  \min (\alpha, \alpha\implf RS \beta) =
  \min \bigl(\alpha, \sup\{\gamma:\, \min(\alpha,\gamma) \leq \beta\}\bigr) 
  = \cr
  &= \left.
     \cases { \min (\alpha, 1) = \alpha & pro $\alpha\leq\beta$\cr
              \min (\alpha, \beta) = \beta & pro $\alpha>\beta$}
     \right\}
  = \min (\alpha, \beta) = \alpha \andf S \beta \,.
}
$$
$$
  \alpha \andf P (\alpha\implf RP \beta) =
  \alpha \cdot \sup \{\gamma:\, \alpha\gamma \leq \beta\} =
    \left.
    \cases { \alpha \cdot 1 = \alpha & pro $\alpha\leq\beta$\cr
             \alpha \cdot {\beta\over\alpha} = \beta & pro $\alpha>\beta$}
    \right\}
  = \min (\alpha, \beta) = \alpha \andf S \beta \,.
$$

\reseni 3.47
%
Neplatí.

\reseni 3.48
%
Zaměříme se na první část vzorce z návodu. 
Je-li $\alpha\leq\beta$, pak podle věty~3.20 platí:
$$
  (\alpha\implf R.\beta)\implf R.\beta =
  1 \implf R.\beta = \beta = \max (\alpha, \beta)\,.
$$
Uvažujme nyní $\alpha>\beta$. Podle definice $\implf R.$ je:
$$
  (\alpha\implf R.\beta)\implf R.\beta =
  \sup \bigl\{ \delta:\, \delta \andf. 
      \sup \{\gamma:\, \alpha \andf.\gamma \leq \beta\} \leq \beta \bigr\}\,.
$$
Konjunkce a) \luk ova, b) standardní i c) součinová splňují, že
vnitřní suprémum bude realizováno v bodě $\gamma$, pro který
platí $\alpha \andf.\gamma = \beta$ (není tedy menší, ale přímo se rovná).
Ze striktní monotonie fuzzy konjunkce pak plyne, že vnější suprémum bude rovno
číslu $\alpha$, protože jedině $\alpha \andf.\gamma = \beta$. 
Protože je $\alpha>\beta$, jsou v bodě $\alpha$ striktně monotóní 
i konjunce a)~$\andf L$ a b)~$\andf S$.
Máme znovu výsledek: $\max (\alpha,\beta)$.

V druhé části vzorce z návodu 
$(\beta\implf R.\alpha)\implf R.\alpha$ 
je pouze prohozeno $\beta$ za $\alpha$, tj. dostáváme stejný výsledek
$\max (\alpha,\beta)$. Dohromady dostáváme:
$$
  \max (\alpha,\beta) \andf S \max (\alpha,\beta) =
  \max (\alpha,\beta) = \alpha \orf S \beta\,.
$$

\reseni 3.49
%
G\"odelova implikace se aplikováním rostoucí bijekce nezmění.

\reseni 3.50
%
\vskip-2\baselineskip
$$
\eqalign{
  \alpha \implf.. (\beta \andf S \gamma) &=
  \alpha \implf.. \min (\beta, \gamma) =
  \cases { \alpha \implf.. \beta  & pro $\beta\leq\gamma$, \cr
           \alpha \implf.. \gamma & pro $\beta > \gamma$, } \cr
  (\alpha \implf.. \beta) \andf S (\alpha \implf.. \gamma) &=
  \min (\alpha \implf.. \beta, \alpha \implf.. \gamma) =
  \cases { \alpha \implf.. \beta  & pro $\beta\leq\gamma$, \cr
           \alpha \implf.. \gamma & pro $\beta > \gamma$, }
}
$$
Tedy pravá strana první rovnosti se rovná levé. Podobně bychom ověřili
ostatní rovnosti.

\reseni 4.48
%
Reflexivita: $\mem R(x,x) = \mem R(x,x)$. Symetrie:
$\mem R(x,y)=\mem R(y,x)$, pak $\mem R(y,x)=\mem R(x,y)$.
Antisymetrie: $(R^{-1})^{-1} = R$ a platí:
$R\capf.R^{-1}\subs \delta$, pak $R^{-1}\capf.R \subs \delta$.
Tranzitivita: 
$\forall y\in\ui: \mem R(x,y)\andf.\mem R(y,z) \leq \mem R(x,z)$
pak $\forall y\in\ui: \mem R(z,y)\andf.\mem R(y,x) \leq \mem R(z,x)$.

\reseni 4.49
%
Musí $R\in \F(A\times B)$ a $S\in \F(B\times A)$.
Uvažujme $R,S\in \F(\{1,2\}^2)$ a
nechť $\mem R(2,1)=\mem S(1,2)=1$ a jinde jsou hodnoty nulové. Pak
$$\eqalign{
\mem {R\circf.S} (1,1) &= \sup \{\mem R(1,1)\andf.\mem S(1,1),
                                 \mem R(1,2)\andf.\mem S(2,1)\} =0 \cr
\mem {S\circf.R} (1,1) &= \sup \{\mem S(1,1)\andf.\mem R(1,1),
                                 \mem S(1,2)\andf.\mem R(2,1)\} =1
}$$
Na fuzzy konjunkci v tomto příkladě nezáleží.
                         
\reseni 4.50
%
Postupujeme podobně, jako v příkladu 4.9. Vzdáleně to připomíná
násobení matic.
$$ 
R \circf S S:
\vcenter{\tabule 3 3    0 1 2   0 1 2
  0,30  0,10  0,30
  0,60  0,40  0,60
  0,90  0,50  0,80
}\qquad 
S \circf S R:
\vcenter{\tabule 3 3    0 1 2   0 1 2
  0,50  0,50  0,50
  0,70  0,80  0,90
  0,70  0,70  0,70
}
$$
$$
R \circf P S:
\vcenter{\tabule 3 3    0 1 2   0 1 2
  0,30  0,05  0,21
  0,60  0,20  0,50
  0,90  0,35  0,80
}\qquad
S \circf P R:
\vcenter{\tabule 3 3    0 1 2   0 1 2
  0,35  0,40  0,45
  0,70  0,80  0,90
  0,49  0,56  0,63
}
$$
$$
R \circf L S:
\vcenter{\tabule 3 3    0 1 2   0 1 2
  0,30  0,00  0,20
  0,60  0,00  0,50
  0,90  0,20  0,80
}\qquad
S \circf L R:
\vcenter{\tabule 3 3    0 1 2   0 1 2
  0,20  0,30  0,40
  0,70  0,80  0,90
  0,40  0,50  0,60
}
$$
$$
R \circf D S:
\vcenter{\tabule 3 3    0 1 2   0 1 2
  0,30  0,00  0,20
  0,60  0,00  0,50
  0,90  0,00  0,80
}\qquad
S \circf D R:
\vcenter{\tabule 3 3    0 1 2   0 1 2
  0,00  0,00  0,00
  0,70  0,80  0,90
  0,10  0,20  0,30
}
$$

\reseni 4.51
%
Je užitečné ve vzorci pro relaci $S$ přeznačit proměnné:
$$
  \mem {\rel S} (y,z) = 
  \cases {{y+z\over2} & pro $y\in\lint1,2\rint$ a
                            $z\in\lint-1,0\rint$, \cr
            0 & jinde.}
$$
$$\eqalign{
\mem {R\circf.S} (x,z) = \sup_{y\in\R} \{\mem R(x,y) \andf. \mem S(y,z)\}
&= \sup_{y\in\{1,2\}} \{\mem R(x,y) \andf. \mem S(y,z)\} =\cr &=
\max \{\mem R(x,1) \andf. \mem S(1,z), \mem R(x,2) \andf. \mem S(2,z)\},
}$$
protože kladné supremum dostaneme jen pro $y\in\{0,1,2\}$ a 
$y\in\lint1,2\rint$, tedy $y\in\{1,2\}$.

Nenulový výsledek dostaneme jen pro $x\in\{0,1,2\}$ a
$z\in\lint-1,0\rint$, takže předpokládejme $z\in\lint-1,0\rint$
a počítejme pro tři různá $x$:
$$\eqalign{
  x=0: \quad & \mem {R\circf.S} (0,z) 
  = \max \left\{ 0{,}2 \andf. {1+z\over2}; \,0{,}3 \andf. {2+z\over2} \right\}
  = 0{,}3 \andf. {2+z\over2}, \cr
  x=1: \quad & \mem {R\circf.S} (1,z) 
  = \max \left\{ 0{,}5 \andf. {1+z\over2}; \,0{,}6 \andf. {2+z\over2} \right\}
  = 0{,}6 \andf. {2+z\over2}, \cr
  x=2: \quad & \mem {R\circf.S} (2,z) 
  = \max \left\{ 0{,}8 \andf. {1+z\over2}; \,0{,}9 \andf. {2+z\over2} \right\}
  = 0{,}9 \andf. {2+z\over2}.
}$$
Ve všech případech byl druhý prvek množiny větší, protože jsou větší
oba argumenty konjunkce $\andf.$. Nezáleží tedy na konkrétní fuzzy 
konjunkci. Dosadit za fuzzy konjunkci $\andf S, \andf P, \andf L$
zvládne již čtenář sám.

V ostatních případech je $\mem {R\circf.S} (x,z) = 0$.

\reseni 4.52
%
$$
\mem R(x,y) = \cases {1 & pro $x=y=0$ \cr
                 \displaystyle {\min (x,y)\over\max(x,y)} & jindy. }
$$
Nechť $x\ne 0, z\ne 0$ a bez újmy na obecnosti předpokládejme $x\le z$.
$$
 \mem {R\circf S R} (x,z) = \sup_{y\in\ui} 
 \left\{ {\min (x,y)\over\max(x,y)} \andf S {\min (y,z)\over\max(y,z)}\right\}
 = {\sqrt{xz}\over z}.
$$
Pro $y\in\lint 0, x\rint$ má levý zlomek hodnotu $y\over x$ a pravý
hodnotu $y\over z$. 
Minimum (výsledek konjunkce $\andf S$) je $y\over z$. Pro $y\in \lint z, 1\rint$
má levý zlomek hodnotu $x\over y$ a pravý hodnotu $z\over y$ a minimum
je $x\over y$. Uprostřed pro $y\in\lint x, z\rint$ má levý zlomek
hodnotu $x\over y$ a pravý hodnotu $y\over z$ a tyto funkce se
protínají v bodě $\sqrt{xz}$. Vlevo od tohoto bodu je menší $y\over z$
a vpravo $x\over y$. Vidíme tedy, že funkce 
${\min (x,y)\over\max(x,y)} \andf S {\min (y,z)\over\max(y,z)}$
v proměnné $y$ roste lineárně až po bod $\sqrt{xz}$ a pak
klesá. Maximum této funkce je rovno hledanému suprému a jeho hodnota
je $\sqrt{xz}\over z$.

Pro $x\ge z$ vychází analogicky $\sqrt{xz}\over x$.

Nechť nyní $x=0, z> 0$. Pak $\mem R(x,y)$ má hodnotu 0 všude jinde než
v bodě $y=0$, kde $\mem R(x,y)=1$ Stačí tedy vyhodnotit supremum pro $y=0$:
$$
  \mem {R\circf S R} (0,z) = 1 \andf. {\min (1,z)\over\max(1,z)} = z.
$$
Analogicky pro $x > 0, z=0$ vychází $\mem {R\circf S R} (x,0) = x$.

Konečně pro $x=z=0$ je suprémum nabyto v bodě $y=0$ a jeho hodnota je~1. 
Máme tedy $\mem {R\circf S R} (0,0) = 1$.

\reseni 4.53
%
$\mem R(x,y) = 1 - \left|x-y\right|$. Relace je zřejmě reflexivní a
symetrická. Zkoumejme $\bcdot$-tranzitivitu:
$$
(1-\left|x-y\right|) \andf. (1-\left|y-z\right|) \le 1 - \left|x-z\right|.
$$
Nechť $x=0, y={1\over2}, z=1$. Pak máme
$$
  {1\over2} \andf. {1\over2} \le 0
$$
a to neplatí pro $\andf S$ ani pro $\andf P$. Relace tedy není
S-ekvivalencí ani P-ekvivalencí. Po dosazení $\andf L$ dostáváme:
$$
  1- \left|x-y\right| + 1 - \left|y-z\right| -1 =
  1- (\left|x-y\right|+ \left|y-z\right|) \le 1- \left|x-z\right|,
$$
tedy: $\left|x-y\right|+ \left|y-z\right| \ge \left|x-z\right|$ a to
je trojúhelníková nerovnost. Relace tedy je L-ekvivalencí.

\reseni 4.54
%
Musíme zjistit, kdy
$\rezR_{R\circf.S} (\alpha) = \rezR_R (\alpha) \circ \rezR_S
(\alpha)$, tj.:
$$
\bigl\{(x,z); \mem {R\circf. S} (x,z) \ge \alpha \bigr\} =
\bigl\{(x,y); \mem R (x,y) \ge \alpha \bigr\} \circ
\bigl\{(y,z); \mem S (y,z) \ge \alpha \bigr\}
$$
Pravá množina se dá rozepsat takto:
$$
\bigl\{(x,z); \exists y: 
\mem R (x,y) \ge \alpha \AND \mem S (y,z) \ge \alpha\bigr\} =
\bigl\{(x,z); \exists y:
\min \bigl(\mem R(x,y), \mem S(y,z)\bigr) \ge \alpha\bigr\}
$$
Nechť dále množina, ve které se pohybuje $y$, je konečná (suprémum je nabýváno). Bez tohoto
předpokladu není ani standardní skládání řezově konzistentní, viz 4.23
a 4.24. Levou množinu rozepíšeme takto:
$$
\bigl\{(x,z); \sup_{y\in Y} \bigl(\mem R(x,y)\andf. \mem S(y,z)\bigr) \ge \alpha \bigr\}=
\bigl\{(x,z); \exists y: \mem R(x,y)\andf. \mem S(y,z)  \ge \alpha \bigr\}
$$
Vidíme, že levá množina se rovná pravé jen tehdy, když použijeme
standardní fuzzy konjunkci.

\reseni 4.55
%
Máme ověřit, zda $R$ je $\bcdot$-antisymetrická $\EQ$
$\rezR_R(\alpha)$ je antisymetrická $\forall\alpha\in (0,1\rint$.
Nechť $x\ne y$.
Víme, že $R$ je $\bcdot$-antisymetrická právě tehdy, když 
$\mem R(x,y)\andf.\mem R(y,x)=0$. Dále s antisymetrií řezu
$\rezR_R(\alpha)$ je ekvivalentní 
$\mem R(x,y)\ge\alpha \AND \mem R(y,x)\ge \alpha = 0 \,
\forall\alpha\in (0,1\rint$. 
\luk ova antisymetrie: stačí zvolit $\mem R(x,y)=\mem R(y,x)={1\over2}$
a je zřejmé, že výroky nejsou ekvivalentní: ostrá 
konjunkce nedává nulu pro $\alpha={1\over2}$.
Součinová antisymetrie: platí, protože oba výroky jsou ekvivalentí 
s tím, že aspoň jedno z čísel $\mem R(x,y), \mem R(y,x)$ musí být nulové.

\reseni 4.56
%
Máme zjistit, kdy platí ekvivalence: 
$$
R\hbox{ je $\bcdot$-tranzitivní} \quad \EQ \quad \rezR_R(\alpha) 
\hbox{ je tranitivní }\forall\alpha\in (0,1\rint. 
$$
To je totéž, jako:
$$
  \forall y: \mem R(x,y)\andf. \mem R(y,z) \le \mem R(x,z) \, \EQ
  \, \forall \alpha>0:
  \mem R(x,y) \ge \alpha \AND \mem R(y,z) \ge \alpha 
  \IMPL \mem R(x,z) \ge \alpha.
$$
Výrok na pravé straně lze přepsat:
$\forall\alpha>0: \min \bigl(\mem R(x,y), \mem R(y,z)\bigr) \ge \alpha \IMPL 
\mem R(x,z) \ge \alpha$ a to je ekvivalentní s:
$\min \bigl(\mem R(x,y), \mem R(y,z)\bigr) \le\mem R(x,z)$. Vidíme tedy, že
ekvivalenci výroků lze splnit jen pro standardní konjunkci.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hfil \vbox{\hrule width.5\hsize}
\medskip

Tento dokument zatím není úplný. Postupně jej budu doplňovat, jakmile
se přinutím znovu zabývat se skripty \uv{Základy fuzzy množin}.

Najde-li zde někdo chybu, prosím, informujte mě o ní na
{\tt petr@olsak.net}. 

Děkuji.

29. 5. 2005 \hfill {\it Petr Olšák}

\end