B0B01MA1: Matematická analýza 1 (letní semestr)

Literatura

Požadavky a hodnocení

Viz http://math.feld.cvut.cz/0educ/pozad/b0b01ma1.htm. Z písemné části zkoušky je nutné získat alespoň třetinu (po zaokrouhlení na celé číslo) z každé z prvních 5 úloh.

Harmonogram

Výukové týdny: 20. 2. – 28. 5. 2017
Přednášky: středa 11:00–12:30, posl. T2:D3-209
pátek 9:15–10:45, posl. T2:D3-209
Zkouškové období:29. 5. – 2. 7., 4. 9. – 8. 9.

Výjimky:

14. 4.(pátek) svátek
17. 4.(pondělí)svátek
1. 5.(pondělí)svátek
2. 5.(úterý) náhradní sudé pondělí
8. 5.(pondělí)svátek
11. 5.(čtvrtek)náhradní liché pondělí
17. 5.(středa) rektorský den

Přednášky

Předběžně:

22. 2. Informace k předmětu. Reálná čísla: přirozená, celá, racionální, iracionální čísla; reálná osa; intervaly; nevlastní čísla ±∞, operace s nimi, použití pro zápis intervalů; horní a dolní mez, maximum a minimum, supremum a infimum, jejich existence.

24. 2. Zavedení reálných čísel pomocí řezů, princip vnořených intervalů. Funkce: definice, definiční obor, obor hodnot, graf; prostá a na; uspořádání, součet, rozdíl, součin, podíl a složení; inverzní funkce, existence právě pro prosté; omezenost a monotonie, inverzní funkce k ryze monotonní funkci; sudé, liché a periodické funkce, perioda, základní perioda.

 1. 3. Bijekce a mohutnost množin, množina racionálních čísel je spočetná, reálných nespočetná; lineární transformace a graf; elementární funkce (mocniny, exponenciální, goniometrické, hyperbolické a k nim inverzní).

 3. 3.Limity: okolí a prstencové okolí, definice, jednostranné limity a vazba na oboustranné; jednoznačnost, monotonie, omezenost funkce s vlastní limitou, neměnění znaménka v prstencovém okolí nenulové limity; nulová limita právě tehdy, když nulová limita absolutní hodnoty; limity monotonních funkcí v krajních bodech intervalu jako supremum a infimum funkčních hodnot, důsledky pro limity elemetárních funkcí; limita součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí; limity typu 1/0±.

 8. 3. Věta o sevření, limita (sin x)/x v 0, limity typu 0 · omez., ±∞ + omez., nexistence limit součtu a součinu; limita složené funkce. Spojitost: definice, souvislost s limitou; spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce; lokální omezenost spojité funkce; spojitost elementárních funkcí.

10. 3.Posloupnosti: definice, vztah limity funkce a limit posloupností, vybraná posloupnost, hromadné hodnoty a jejich vlastnosti (existence, limity vybrané posloupnosti, uzavřenost na suprema a infima, limes superior, limes inferior). Spojité funkce na intervalu: na uzavřeném nabývají extrémů, obor hodnot je interval, inverzní existuje právě pro ryze monotonní a je spojitá.

15. 3.Derivace: definice, jednostranné derivace, derivace základních funkcí (xa, ex, sin x, cos x), souvislost derivace a spojitosti, věta o derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, složené funkce, inverzní funkce (ln x, arctg x).

17. 3.Aplikace derivací: tečna a normála grafu funkce, Rolleova a Lagrangeova věta, l'Hospitalovo pravidlo.

22. 3. Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom, odhad chyby, použití. Asymptotické chování funkcí a posloupností.

24. 3.Průběh funkce: derivace a monotonie funkcí, nutné a postačující podmínky pro lokální extrémy, hledání extrémů spojité funkce na uzavřeném intervalu. Konvexita a konkavita, vazba na 2. derivaci, inflexe, inflexní body.

29. 3. Asymptoty, celkový přehled, příklady.

31. 3.Neurčitý integrál: primitivní funkce, vlastnost mezihodnoty derivace, spojité funce mají primitivní, množina primitivních funkcí na intervalu, neurčitý integrál, tabulkové integrály, linearita, metoda per partes.

 5. 4. Substituce. Racionální funkce: rozklad na součet polynomu a parciálních zlomků.

 7. 4. Určení koeficientů parciálních zlomků, zakrývací pravidlo, integrování.

12. 4.Neurčitý integrál: integrace některých typů funkcí (racionální funkce v exponenciále, logaritmu, sinech a kosinech, odmocninách lineární lomené funkce; odmocniny kvadratických funkcí).

14. 4. (Svátek.)

19. 4.Určitý integrál: Riemannův integrál, existence na uzavřeném intervalu pro monotónní a pro spojité funkce.

21. 4. Linearita, monotonie, odhad integrálem z absolutní hodnoty, aditivita na definičním oboru, derivace určitého integrálu podle horní meze.

26. 4. Newtonova–Lebnizova formule, porovnání různých typů integrálů. Nevlastní integrál: definice, existence a konvergence.

28. 5. Věty o konvergenci, konvergence integrálu mocnin a integrálu racionální funkce, příklady (Laplaceova transformace, funkce gama). Aplikace určitého integrálu: střední hodnota, věta o střední hodnotě.

 3. 5. Obsah obrazce vymezeného grafy funkcí, délka křivky, objem rotačního tělesa, obsah pláště rotačního tělesa, těžiště.

 5. 5.Číselné řady: součet, konvergence, geometrická řada a její součet; věty o součtu řad a o násobku řady; nutná podmínka konvergence, řada s nezápornými členy má součet; absolutní konvergence, absolutně konvergentní řada konverguje.

10. 5. Srovnávací, podílové, odmocninové, integrální a Leibnizovo kritérium konvergence, vlastnosti absolutně konvergentních řad.

12. 5.Diferenciální rovnice: separovatelné diferenciální rovnice prvního řádu a jejich řešení – stacionární řešení, nestacionární separací.

17. 5. (Rektorský den.)

19. 5. Nejednoznačnost a jiné problémy se separovatelnými diferenciálními rovnicemi, aplikace; lineární diferenciální rovnice, linearita diferenciálního operátoru, struktura množiny řešení, princip superpozice.

24.  1. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, charakteristická rovnice, řešení přidružené homogenní rovnice, partikulární řešení metodou odhadu. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu, variace konstanty.

26.  1.  Numerické metody pro řešení diferenciálních rovnic prvního řádu. Informace ke zkoušce.

Informace ke zkoušce

Zápis na zkoušky je přes KOS, v době uzávěrky přihlášek je nutno mít v KOSu zapsán zápočet.

Ke zkoušce si přineste dokument služící k identifikaci, psací potřeby a dostatek čitelně podepsaných čistých papírů. U zkoušky nejsou povoleny kalkulačky, mobily ani žádné jiné pomůcky.

Ve stanovenou dobu se předpokládá začátek 90minutové písemné části. Před posluchárnu se dostavte o asi 10 minut dříve, abyste mohli být rozesazeni (mohou se současně psát i jiné písemné práce). Pozdější příchod znamená, že budete mít na vypracování práce méně času.

Písemná část zkoušky trvá 90 minut, obsahuje 6 úloh, za které můžete získat celkem až 60 bodů (30 bodů je nutných k úspěšnému složení zkoušky):

Prvních 5 úloh písemné práce je rutinních (viz ukázkové příklady ke zkoušce), poslední má prověřit porozumění probrané látce případně schopnost poradit si se složitějšími úlohami. Je zapotřebí uvádět a zdůvodňovat postup řešení. V případě uvedení více postupů se hodnotí správnost všech.

Zkoušející vám sdělí, kdy se máte dostavit pro výsledky a na ústní část (tentýž den s časovým odstupem nutným pro opravu písemek). Můžete se tam také dozvědět, jak řešení mohlo vypadat, a poučit se tak pro případný další termín. Pokud se (bez domluvy se zkoušejícím) nedostavíte, bere se to, jako byste od zkoušky odstoupili.

Ústní zkouška se skládá z povinné (pokud splníte podmínky po napsání písemné části) části, ve které dostanete 2 otázky, které je nutno alespoň z poloviny správně zodpovědět. Pokud uspějete, dostanete z této části 4 body a můžete postoupit do nepovinné části, ve které můžete získat až 16 bodů.

Je nutno získat alespoň 30 bodů z písemné části zkoušky (z 60 možných), alespoň 3 body z každé z prvních pěti úloh, alespoň 35 bodů po přičtení bodů ze semestru, 4 body z povinné části ústní zkoušky. Nesplnění kterékoliv z těchto podmínek znamená okamžité ukončení zkoušky. Výsledná známka se určí podle následující tabulky:

Body Hodnocení
39–49E (dostatečně)
50–59D (uspokojivě)
60–69C (dobře)
70–79B (velmi dobře)
80–90A (výborně)

V průběhu zkoušky smíte kdykoliv odstoupit, dostanete pak z termínu známku F. Výhody odstoupení: 1) neztrácíte čas (pokud např. zjistíte, že písemku zjevně nenapíšete na nutný počet bodů), 2) uchováte si možnost získat lepší známku.

Máte nejvýše 3 možnosti ke složení zkoušky (při každém zápisu předmětu), počet druhých opravných termínů během studijní etapy je omezen. Doporučuji nechat si poslední týden zkouškového období jako rezervu pro případné opravné termíny. Pokud se na první termín přihlásíte v posledním zkouškovém týdnu, je dost pravděpodobné (pro poslední vypsaný termín jisté), že možnost opravného termínu (v tomto zkouškovém období) mít nebudete. Pokud zkoušku nesložíte, můžete si předmět zapsat příští semestr podruhé (pokud jste tuto možnost už nevyužili).


Josef Tkadlec, tkadlec(at)fel.cvut.cz


Poslední úprava: 17. února 2017.