DMA: Ukázková písemka

Bude trochu netradiční, sestavit si ji můžete sami pomocí skripta.

1.[14 bd]   Příklad na rozpoznávání vlastností konkrétní relace. Dejte si pozor na správný zápis důkazu/vyvrácení platnosti té či oné vlastnosti.
Viz nová kapitola 5b, cvičení 4,5,6,7.

2.[10 bd]   Příklad na diofantickou rovnici v některém z jejích převleků, typicky rovnice v nějakém prostoru Zn, kongruenční rovnice modulo a podobně.
Viz nová kapitola 4, cvičení 4c.2, 4b.1, také 4a.1.

3.[14 bd]   Důkaz matematickou indukcí. Bude méně triviální než na semestrální písemce.
Viz kapitola 5a, cvičení 1; kapitola 5b, cvičení 3 a 4.

4.[15 bd]   Příklad na rekurentní rovnici, v typickém případě druhého až třetího řádu a s pravou stranou, která je kombinací několika kvazipolynomů. Určitě budou počáteční podmínky. Rovnice často nebude zadaná předpisově a bude nejprve třeba si ji poupravit.
Viz kapitola 10b, cvičení 3.

5.[12 bd]   Vyšetření vlastnosti daného zobrazení (určení, zda platí, a důkaz správnosti odpovědí).
Viz nová kapitola 9a, cvičení 9.

6.[20 bd]   Důkaz nějaké obecné vlastnosti. Témata v typickém případě tahám od zobrazení, relací, dělitelnosti, kongruence, teorie rovnic. Nepředpokládá se znalost nějakých specifických triků, ale je třeba být kamarád se základními pojmy, umět s nimi pracovat, vytvořit argument a dobře jej zdokumentovat.
Důkazy např. ze cvičení 10b.9, z nových kapitol cvičení 3a.5, 3a.7, 5b.11, 5b.12, 5c.7, 5c.8, důkaz Faktu 9a.10 a cvičení 9a.13, 9a.16.

7, 8.[5 bd každý]   "Jednohubky", dá se čekat mix jednoduchých praktických příkladů týkajících se témat nepokrytých výše. Typické jednohubky:
• úkoly o částečně uspořádaných množinách: Hasseův diagram, rozpoznání max/min atd., linearizace;
• doplňování relace aby splňovala určité vlastnosti;
• úkoly okolo ekvivalencí;
• spočetnost;
• princip inkluze a exkluze či šuplíkový princip;
• odhadnout pomocí iterací vzorec pro funkci f zadanou rovnicí f(n) = f(n/2) + ...;
• odhad asymptotické rychlosti růstu dané funkce;
• etc.
Viz například cvičení 4b.9, 4a.6, 4a.13, 4c.4, 4c.8, 5b.6, 5b.8, 10b.4, 10c.2, 11b.21—25, 11b.31—33, nové 4c.3, 9c.7.