V této části probereme základní příklady posloupností a podíváme se na jejich omezenost a monotonii. Začneme alternující posloupností, ke které se ještě vrátíme na konci, stručně probereme aritmetické posloupnosti, nejdůležitějším typem ale je geometrická posloupnost. K těmto příkladům se ještě vrátíme v části Teorie - Limita - Důležité příklady.
Alternující posloupnost je vlastně kategorie, obecnější typ posloupnosti (viz konec této části), ale zde se podíváme na posloupnost, která je jakýmsi prototypem alternující posloupnosti:
Graf vypadá takto:
Z obrázku hned vidíme, že tato posloupnost je omezená (pro všechna n
evidentně máme
Je také možné indexovat tuto posloupnost od
Tato posloupnost se objevuje docela často; někdy sama o sobě, ale častěji jako součást jiné posloupnosti; viz poslední sekce níže.
Definice.
Aritmetickou posloupností rozumíme libovolnou posloupnost typu
an = a + nd, n = 0,1,2,3,... kde a a d jsou libovolná pevně zvolená reálná čísla.
Aritmetická posloupnost tedy vypadá takto:
Je zase možné indexovat tuto posloupnost
Všimněte si následujícího: každý člen aritmetické posloupnosti lze získat přičtením konstanty d k předchozímu členu. Například
To je základní myšlenka aritmetické posloupnosti. Začne se nějakým číslem
a a pak se přičítá zas a zas stejný rozdíl d. Nemělo by tedy
překvapit, že aritmetická posloupnost může být tedy definována
rekurzivně
takto:
(1)
(2)
Není těžké dokázat indukcí, že jak explicitní, tak rekurzivní definice definují tutéž posloupnost.
Poslední charakterizace aritmetické posloupnosti: Daná posloupnost je aritmetická právě tehdy, je-li rozdíl mezi dvěma následujícími členy stále stejný.
Příklad:
Zvolili jsme tento příklad, abychom ukázali, že krok d může také být
záporný. Je jeden speciální případ, a to když
Jaké jsou vlastnosti aritmetické posloupnosti? Nejprve se podíváme na
triviální případ konstantní posloupnosti
Hned vidíme, že taková posloupnost je omezená; navíc je monotonní, jmenovitě zároveň neklesající a nerostoucí.
Co se stane pro d nenulové? Jsou dva případy.
Případ 1: Jestliže
Z odhadu
Případ 2: Jestliže
Z odhadu
Definice.
Geometrickou posloupností rozumíme libovolnou posloupnost typu
an = aqn, n = 0,1,2,3,... kde a z q jsou pevně zvolená reálná čísla.
Geometrická posloupnost tedy vypadá takto (máme
Je zase možné indexovat tuto posloupnost
Jeden příklad geometrické posloupnosti jsme už viděli, jmenovitě onen prototyp alternující posloupnosti na začátku.
Všimněte si, že každý člen geometrické posloupnosti lze získat vynásobením předchozího členu konstantou q. Například
To je základní myšlenka geometrické posloupnosti. Začnete nějakým číslem a
pak jej zas a zas násobíte touže konstantou q. Nemělo by tedy
překvapit, že geometrickou posloupnost lze také definovat
rekurzivně takto:
(1)
(2)
Není těžké dokázat indukcí, že jak explicitní, tak rekurzivní definice definují tutéž nekonečnou posloupnost.
Poslední charakterizace geometrické posloupnosti: Daná posloupnost je geometrická, pokud podíl dvou následujících členů je vždy stejný.
Ten příklad geometrické posloupnosti, který jsme viděli dříve (alternující
posloupnost), je poněkud speciální, a tak není dobrým reprezentantem chování
geometrické posloupnosti. Další výjimkou je případ, kdy
Abychom to shrnuli, případy
Abychom viděli, co se děje, když je q jiné, se podíváme na čtyři
typické příklady, pro jednoduchost položíme (jako obvykle)
Příklad:
Volba
Tato posloupnost je rostoucí, omezená zdola (evidentně
Příklad:
Volba
Tato posloupnost je klesající, omezená zdola (evidentně
Tyto dva příklady ukazují dva základní typy geometrické posloupnosti,
jmenovitě když
Příklad:
Volba
Tato posloupnost není monotonní, není omezená zdola ani shora, tedy ani omezená.
Příklad:
Volba
Tato posloupnost není monotonní, je omezená zdola (evidentně
Pro další informaci viz Důležité příklady v části Posloupnosti - Teorie - Limita.
Všimněte si, že v těchto posledních dvou příkladech jsme vlastně vzali grafy předchozích dvou příkladů a přehodili každý druhý člen dolů okolo osy n. To naznačuje, že při zkoumání posloupností, jejichž znaménka se mění pravidelně, může být výhodné je nejprve ignorovat. To nás přivádí k poslednímu tématu.
Náš první příklad byl prototypem alternující posloupnosti. Teď se podíváme na obecnější definici.
Definice.
Alternující posloupností rozumíme libovolnou posloupnost{an}, kterou je možné zapsat jakoan = (−1)nbn pro nějaká nezáporná reálná číslabn.
Mimochodem, spousta lidí by dala přednost začít
indexování nějakým sudým číslem, aby daná alternující posloupnost začínala
plusem; myslím, že řekněme
Při vyšetřování alternující posloupnosti
je často jednodušší nejprve ignorovat znaménka a vyšetřovat posloupnost
Obzvláště při kreslení grafu alternující posloupnosti je obvykle jednodušší
nejdříve vyšetřit tvar grafu
Všimněte si, že tuto ideu je také možné použít na kreslení grafu
posloupností, jejichž znaménka se mění pravidelným způsobem, i když to není
ten alternující. Například
Poslední poznámka: Existují i posloupnosti, jejichž znaménka nejen
nealternují, ale dokonce ani nemají nějakou pravidelnost; jinými slovy,
neexistuje určitý vzorec znamének, který by se dokola opakoval, a co je
důležitější, ze znalosti určitého počtu členů nemůžeme odvodit, jaké znaménko
má následující člen (tj. jen ze známých znamének, bez přímého výpočtu onoho
členu ze vzorce). Asi nejjednodušší příklad je