Zde se podíváme na nejdůležitější příklady posloupností. Soustředíme se na jejich konvergenci, zmíníme se také o omezenosti a monotonii posloupností, které tady uvidíme poprvé. Po alternující a aritmetické posloupnosti se podíváme na geometrickou posloupnost, pak se podíváme na mocniny, faktoriál, exponenciálu a nakonec na sinus a kosinus.
Jak už jsme viděli, prototyp
alternující posloupnosti
Už z obrázku vidíme, že tato posloupnost nemá limitu. Toto je nejjednodušší příklad problému typu oscilace zabraňujícího existenci limity.
Chování aritmetické posloupnosti
Jestliže
Z obrázku se zdá jasné, že tato posloupnost konverguje, a opravdu platí, že
Jestliže
Taková posloupnost je divergentní, ale limita existuje a je rovna nekonečnu;
to jest,
Jestliže
Taková posloupnost je zase divergentní, ale má limitu, tentokráte mínus
nekonečno; tedy
Chování geometrické posloupnosti
Pro další případy je dobré si připomenout čtyři typické příklady, které jsme
viděli v části Teorie
- Úvod - Důležité příklady. Reprezentovaly čtyři alternativy, které se
mohou stát pro
Případ 1:
V tomto případě posloupnost diverguje, ale má limitu, jmenovitě nekonečno (viz konec poznámky zde).
Případ 2:
a když
z pohledu konvergence je to tentýž případ: posloupnost konverguje k 0.
Případ 3:
V tomto případě posloupnost nemá limitu. Všimněte si, že tento příklad kombinuje oba důvody divergence diskutované v úvodu k limitě: oscilaci a "vybouchnutí".
Fakta o geometrické posloupnosti lze shrnout několika způsoby. Z pohledu konvergence (a s vynecháním některých alternativ) máme pěkné a užitečné tvrzení:
Fakt.
Geometrická posloupnost{qn} diverguje, jestliže|q| > 1, a konverguje k 0 pro|q| < 1.
Je také možné vyjádřit všechny detaily:
Ačkoliv je
Případ 1: (mocnina v čitateli). Posloupnost
Máme následující fakt:
Případ 2: (mocnina ve jmenovateli). Posloupnost
, kde
Máme následující fakt:
Protože n! > n, intuice naznačuje, že posloupnost
Tato posloupnost je rostoucí, protože
Limita plyne z jednostranného srovnání, viz sekce Limita a srovnání:
Uvažujme posloupnost
Někteří lidé dokonce takto definují Eulerovo číslo. Řeknou, že Eulerovo číslo
Posloupnosti
Posloupnosti se pak vytvoří tak, že se místo x dosadí přirozená čísla,
jinak řečeno, umístěním bodů do grafů na místa, kde jsou x-ové
souřadnice celá čísla. Všechny vlastnosti teď záleží na tom, jak se tyto
body, umístěné s rozestupem 1, shodnou s periodou sinu a kosinu, což je
Platí pro tyto body nějaká providelnost, například takto?
Pravidelně nebo ne, může se stát, že body padnou na vlny takovým způsobem, že vzniklá posloupnost je monotonní?
Mohlo by se třeba stát, že se body začnou "vyhýbat" vrcholům a údolím, takže se posloupnost nakonec stane malá?
Mohly by body padnout na vlny tak, že posloupnost nakonec konverguje?
Všechny tyto otázky mají zápornou odpověď. Body padnou na vlny způsobem, který se stále mění a nikdy neopakuje, a nezačnou se vyhýbat žádné části sinové/kosinové vlny. Pokud si například vyberete určitou část základní vlny, pak ať už ignorujete jakkoliv velký začátek posloupnosti (sinové či kosinové, obě se chovají stejně), vždy se v konci najdou body, které padnou do této části, a když odříznete tuto část, zase se najdou body ve zbytku a tak dále. Následující obrázek ukazuje, jak to vypadá.
Co z toho plyne? Protože body mimo jiné znovu a znovu padnou na vrcholy a
údolí, posloupnosti nemohou být monotonní. Budou se také znovu a znovu
dostávat libovolně blízko k hodnotám 1 a
Pro podrobnější pohled na tuto problematiku klikněte sem.