Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu
Řešení: Je to standardní problém, máme najít limitu výrazu, který existuje na prstencovém okolí limitního bodu. Začneme tedy dosazením tohoto bodu do výrazu a dostaneme "nulu nad nulou". To je neurčitý podíl. Standardní postup volá po l'Hospitalově pravidle.
Všimněte si, jak po každém l'Hospitalení zjednodušíme a pak "pěkné" části (ty, které nepřispívají k nule v čitateli či jmenovateli) děláme zvlášť, aby nám nekomplikovaly dalšího l'Hospitala.
Ty tři l'Hospitalové se daly čekat, každá aplikace "odmázla" jednu mocninu arkustangensu a jeden logaritmus. Existuje ale nějaký snažší způsob? Určitě. Protože jak čitatel, tak jmenovatel jsou složené funkce s třetí mocninou coby vnější funkcí, můžeme tuto mocninu vytáhnout ze zlomku a pak také z limity (je to spojitá funkce). Pak bude stačit jeden l'Hospital.
To je dost lepší, ne? Je ještě jiný způsob? Krácení se nezdá možné, nic dalšího nás nenapadá, takže toto druhé řešení je asi optimální.