Příklad: Vypočítejte integrál

Řešení: Tento integrál je jedním z typických pro šuplík "per partes", jmenovitě typ "odstraňujeme logaritmus", takže nasadíme doporučenou metodu. Ještě si všimneme, že integrál je definován na celé reálné ose, takže můžeme integrovat přes zadaný interval, v průběhu integrace si pak ohlídáme, abychom si v tomto intervalu něco nepokazili.

Nový integrál je racionální lomená funkce, takže použijeme příslušný postup. Zde nejprve vydělíme, zbytek pak nakonec povede na arkustangens či integrál řešený substitucí (nebo obojí).

Máme tedy výsledek a ani to nebylo tak těžké. Nicméně chytrý integrátor by si dokázal trochu práce ušetřit. Všimne si totiž, že by se mohl zbavit kvadratického výrazu v logaritmu substitucí hned na začátku. Má substituce y = x² + 1 šanci? Na to bychom potřebovali najít x vedle dx coby derivaci ze substituce. Teď to tam nemáme, ale hravě si to vyrobíme tak, že si vypůjčíme jedno x z třetí mocniny. Pak tam zbude jen druhá mocnina, což pěkně ladí s naší substitucí. Začínáme být silně optimističtí. Nakonec zase budeme integrovat per partes, ale bude to jednodušší.

Mimochodem, zkuste si spočítat neurčitý integrál, mělo by vám vyjít

Poznámka: Existuje zajímavá finta, která dokáže u prvního přístupu výrazně zkrátit výpočet. Nás totiž nic nenutí volit jako g zrovna tu nejjednodušší primitivní funkci, ale můžeme si přidat konstantu dle libosti, v tomto příkladě se toho dá chytře využít.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Integrace