Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu
Řešení:
Je to standardní problém, máme najít limitu v nekonečnu výrazu, který
existuje na okolí nekonečna (např. pro
Jak jsme dostali ty jednostranné věci?
Každopádně máme neurčitý rozdíl a doporučená metoda je použít algebru ke spojení oněch dvou výrazů. Zde se jako jediná rozumná cesta zdá společný jmenovatel.
Potřebujeme najít, kam jde neurčitý součin v čitateli. Jsou dvě možnosti. Víme, že jmenovatel je 0+, takže jestli ten součin v čitateli jde k limitě, který není 1 (třeba i k nekonečnu), pak lze problém dokončit algebrou limit. Na druhou stranu, kdyby ten součin šel k 1, pak problém jako celek je "nula nad nulou" a čeká nás spousta práce.
Podíváme se tedy samostatně na ten součin. Doporučený přístup k neurčitým součinům je změnit je v podíl, který bude určitě neučitý a můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo (nebo obecněji nějaký jiný trik, ale zde se nezdá, že by nějaký pomohl).
Stalo se tedy to nejhorší a čelíme neurčitému podílu. Mimochodem, všimněte
si, jak přepínáme mezi
Podobný problém, máme podíl a v něm je neurčitý součin. Dobrá zpráva je, že jmenovatel už nezlobí a můžeme jej vyhodnotit zvlášť. Co se dá říct o tom neurčitém součinu? Je podobný tomu, který jsme měli předtím, jen je v něm jedna mocnina x navíc, dá se tedy počítat úplně stejným způsobem. Chytřejší je ale tento trik, který použije přímo výsledku předchozího výpočtu:
Daný problém se tedy přemění v další neurčitý rozdíl.
Potřebujeme zase změnit tento výraz v podíl. Není ale nějaký jasný způsob jako společný jmenovatel, co se dá dělat? Jedna možnost je zkusit univerzální trik pro změnu součinu v podíl, ale to by bylo děsné (jako obvykle), pokud jste zvědavi, podívejte se sem.
Co jiného je možné udělat? V šuplíku neurčitý rozdíl je nápad, který zde může pomoci, jmenovitě nápad něco vytknout. Zde je přirozený kandidát: Vytkneme x. To změní tento rozdíl v neurčitý součin.
Mimochodem, použili jsme výše dokázaný fakt, že
Nakonec jsme skončili s úplně stejným výrazem, se kterým jsme začali, jen s opačným znaménkem. Co to znamená? Vidíme, že jsme ve slepé uličce a přístup, který jsme zvolili, zde končí. Co se dá dělat? Jedna možnost je zkusit ten trik s vytknutím hned na začátku, ale to bohužel nevypadá o moc lépe.
Takže to také nepomohlo. Zabrala by nějaká jiná metoda z našeho arsenálu? Nezdá se: Nejde krátit, nejde intuitivně hádat, nic se nedá použít v těch krocích výše. Jsme tedy poraženi?
Nejsme. Trik spočívá v tom, že začneme jinak a řešíme jiný příklad. Všimneme
si, že kořenem problému je řetízkové pravidlo při derivaci složeného sinu a
složeného kosinu. Na to máme schovaný trik, který s tímhle pomůže:
substituci. Pokud položíme
Jak snadné. Jak vidíte, substituce může být velice mocným nástrojem.
Poznámka: Ten trik se substitucí je pořád docela rozumný. Je ještě
jeden způsob, jak se dostat k výsledku, a ten je trikovější a delší, nicméně
také zajímavý. Při prvních dvou pokusech (měnili jsme rozdíl v podíl a součin)
bylo největším problémem, že se po l'Hospitalech výraz nezjednodušoval.
Viníkem byl člen
Druhý přístup (přes součin) funguje takto:
Je tedy možné tento problém vyřešit i bez substituce, ale je to trikovější a výpočty jsou hnusnější.
Poznámka: Všimněte si, že ten nepovedený l'Hospital, který se vracel
zpět na začátek, lze
použít k získání alespoň nějaké podmíněné informace. Jestliže limita existuje
(což v té chvíli bylo hodně velké jestliže), pak ji můžeme označit L a
ten poslední krok do slepé uličky říká, že